Exercício 4.8.25. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{3}, 2 x_{1}+x_{2}, x_{1}-3 x_{2}\right)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(1,0,0),(1,0,-1),(0,1,1)\}.
c) Poderia existir uma base com respeito à qual o determinante da matriz representativa de F é nulo?

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad F(x_1,x_2,x_3) = (\,x_1 - x_3,\;2x_1 + x_2,\;x_1 - 3x_2\,)
e pede:
a) núcleo e imagem, com dimensões e bases;
b) matriz de F na base \mathcal{Y} = \{(1,0,0),(1,0,-1),(0,1,1)\};
c) se existe base em que o determinante da matriz de F seja zero.
O conteúdo usado inclui resolução de sistemas lineares para \ker F, teorema dimensão = nulidade + posto, mudança de base e invariância do determinante por semelhança.

Passo 2

Para achar \ker F\) resolvemos \(F(x_1,x_2,x_3) = (0,0,0)\), isto é o sistema \[\begin{cases} x_1 - x_3 = 0,\\\\ 2x_1 + x_2 = 0,\\\ x_1 - 3x_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação x_1 = x_3\]. Da segunda \(x_2 = -2x_1. Substituindo na terceira:
x_1 - 3(-2x_1) = x_1 + 6x_1 = 7x_1 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 0,
logo x_2 = 0 e x_3 = 0. Assim
\ker F = \{(0,0,0)\}, \quad \dim\ker F = 0.

Passo 3

Pelo teorema dimensão = nulidade + posto em \mathbb{R}^3 temos
\dim\ker F + \dim\mathrm{Im}\,F = 3 \;\Longrightarrow\; 0 + \dim\mathrm{Im}\,F = 3 \;\Longrightarrow\; \dim\mathrm{Im}\,F = 3.
Como \dim\mathrm{Im}\,F=3 em \mathbb{R}^3, segue \mathrm{Im}\,F=\mathbb{R}^3. Uma base conveniente é a base canônica
\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

Passo 4

Para obter M_F^{\mathcal{Y}} usamos os vetores da base \mathcal{Y}=\{v_1,v_2,v_3\} onde
v_1=(1,0,0),\; v_2=(1,0,-1),\; v_3=(0,1,1).
Calculamos F(v_j) e escrevemos cada imagem em coordenadas de \mathcal{Y}.
  1. F(v_1)=F(1,0,0)=(1,2,1). Procuramos (a_1,a_2,a_3) tais que
a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 =(a_1+a_2,\;a_3,\;-a_2+a_3) =(1,2,1).
Daqui a_3=2, -a_2+2=1\implies a_2=1, a_1+1=1\implies a_1=0. Logo primeira coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
2. F(v_2)=F(1,0,-1)=(2,2,1). Análogo,
(a_1+a_2,a_3,-a_2+a_3)=(2,2,1) \implies (a_1,a_2,a_3)=(1,1,2).
  1. F(v_3)=F(0,1,1)=(-1,1,-3). Análogo,
(a_1+a_2,a_3,-a_2+a_3)=(-1,1,-3) \implies (a_1,a_2,a_3)=(-5,4,1).
Assim
M_F^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\\\ 1 & 1 & 4\\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det de uma matriz de F em qualquer base é invariante por semelhança, vale
\det M_F^{\mathcal{Y}} = \det M_F^{\text{canônica}} = 7 \neq 0.ô
Logo não existe base em que o determinante da matriz representativa seja zero.

Resposta

a) \ker F = \{(0,0,0)\}, \dim\ker F=0. \mathrm{Im}\,F = \mathbb{R}^3, \dim\mathrm{Im}\,F=3. Base da imagem: por exemplo \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
b)
M_F^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & -5\\\\ 1 & 1 & 4\\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
c) Não. Como \det M_F independe da base e é igual a 7\neq0, não existe base em que esse determinante seja zero.

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