a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(1,0,0),(1,0,-1),(0,1,1)\}.
c) Poderia existir uma base com respeito à qual o determinante da matriz representativa de F é nulo?
e pede:
a) núcleo e imagem, com dimensões e bases;
b) matriz de F na base \mathcal{Y} = \{(1,0,0),(1,0,-1),(0,1,1)\};
c) se existe base em que o determinante da matriz de F seja zero.
O conteúdo usado inclui resolução de sistemas lineares para \ker F, teorema dimensão = nulidade + posto, mudança de base e invariância do determinante por semelhança.
Passo 2
Para achar \ker F\) resolvemos \(F(x_1,x_2,x_3) = (0,0,0)\), isto é o sistema
\[\begin{cases} x_1 - x_3 = 0,\\\\ 2x_1 + x_2 = 0,\\\ x_1 - 3x_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação x_1 = x_3\]. Da segunda \(x_2 = -2x_1. Substituindo na terceira: