Exercício 4.8.24. Seja F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(2 x_{1}, x_{1}-x_{2}, 2 x_{2}\right)
a) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}_{1}, \mathcal{Y}_{2}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}_{1}=\{(1,0),(1,1)\} e \mathcal{Y}_{2}=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)\}.
b) Calcular M_{F}^{\mathcal{Y}_{1}, \mathcal{Y}_{2}} usando as matrizes de passagens das bases canônicas para as bases \mathcal{Y}_{1} e \mathcal{Y}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma aplicação linear
F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\quad F(x_1,x_2)=(2x_1,\;x_1-x_2,\;2x_2)
relativa às bases \mathcal{Y}_1=\{v_1=(1,0),\,v_2=(1,1)\} em \mathbb{R}^2 e \mathcal{Y}_2=\{w_1=(1,1,0),\,w_2=(0,1,1),\,w_3=(0,0,2)\} em \mathbb{R}^3.
Em (a) vamos calcular diretamente as coordenadas de F(v_i) em \mathcal{Y}_2.
Em (b) vamos usar a fórmula
M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} = P^{-1}\;A\;Q
onde A é a matriz de F nas bases canônicas, Q é a passagem de \mathcal{Y}_1 para a base canônica de \mathbb{R}^2
e P a passagem de \mathcal{Y}_2 para a base canônica de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular F nos vetores de \mathcal{Y}_1:
F(v_1)=F(1,0)=(2\cdot1,\;1-0,\;2\cdot0)=(2,1,0),
F(v_2)=F(1,1)=(2\cdot1,\;1-1,\;2\cdot1)=(2,0,2).

Passo 3

Expressar F(v_1)=(2,1,0) como combinação de w_1,w_2,w_3:
procuramos a,b,c tais que
(2,1,0)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(0,0,2).
Das componentes:
  1. a=2.
  2. a+b=1\implies b=1-2=-1.
  3. b+2c=0\implies -1+2c=0\implies c=\tfrac12.
    Logo as coordenadas de F(v_1) em \mathcal{Y}_2 são \bigl[2,\,-1,\,\tfrac12\bigr]^T.

Passo 4

Expressar F(v_2)=(2,0,2) como combinação de w_1,w_2,w_3:
(2,0,2)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(0,0,2).
Das componentes:
  1. a=2.
  2. a+b=0\implies b=-2.
  3. b+2c=2\implies -2+2c=2\implies c=2.
    Logo as coordenadas de F(v_2) em \mathcal{Y}_2 são \bigl[2,\,-2,\,2\bigr]^T.

Passo 5

Montando a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} cujas colunas são essas coordenadas, obtemos
M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} =\begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ -1 & -2\\\ \tfrac12 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 6

Em (b) identificamos:
A, matriz de F nas bases canônicas,
A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & -1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
Q, matriz cujas colunas são v_1,v_2 em coordenadas canônicas,
Q=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
P, matriz cujas colunas são w_1,w_2,w_3 em coordenadas canônicas,
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Então
M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} = P^{-1}\,A\,Q.

Passo 7

Calcular P^{-1}. Resolvendo \;P\,(x_1,x_2,x_3)^T=(y_1,y_2,y_3)^T obtemos
P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 8

Computar
A\,Q =\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&-1\\\ 0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&2\\\ 1&0\\\ 0&2\end{pmatrix},
depois
P^{-1}(A\,Q) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&2\\\ 1&0\\\ 0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&2\\\ -1&-2\\tfrac12&2\end{pmatrix},
que coincide com o resultado do item (a).

Resposta

M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} =\begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ -1 & -2\\\ \tfrac12 & 2 \end{pmatrix}.

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