a) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}_{1}, \mathcal{Y}_{2}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}_{1}=\{(1,0),(1,1)\} e \mathcal{Y}_{2}=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)\}.
b) Calcular M_{F}^{\mathcal{Y}_{1}, \mathcal{Y}_{2}} usando as matrizes de passagens das bases canônicas para as bases \mathcal{Y}_{1} e \mathcal{Y}_{2}.
relativa às bases \mathcal{Y}_1=\{v_1=(1,0),\,v_2=(1,1)\} em \mathbb{R}^2 e \mathcal{Y}_2=\{w_1=(1,1,0),\,w_2=(0,1,1),\,w_3=(0,0,2)\} em \mathbb{R}^3.
Em (a) vamos calcular diretamente as coordenadas de F(v_i) em \mathcal{Y}_2.
Em (b) vamos usar a fórmula
onde A é a matriz de F nas bases canônicas, Q é a passagem de \mathcal{Y}_1 para a base canônica de \mathbb{R}^2
e P a passagem de \mathcal{Y}_2 para a base canônica de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Calcular F nos vetores de \mathcal{Y}_1:
F(v_1)=F(1,0)=(2\cdot1,\;1-0,\;2\cdot0)=(2,1,0),
F(v_2)=F(1,1)=(2\cdot1,\;1-1,\;2\cdot1)=(2,0,2).
Passo 3
Expressar F(v_1)=(2,1,0) como combinação de w_1,w_2,w_3:
procuramos a,b,c tais que
(2,1,0)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(0,0,2).
Das componentes:
a=2.
a+b=1\implies b=1-2=-1.
b+2c=0\implies -1+2c=0\implies c=\tfrac12.
Logo as coordenadas de F(v_1) em \mathcal{Y}_2 são \bigl[2,\,-1,\,\tfrac12\bigr]^T.
Passo 4
Expressar F(v_2)=(2,0,2) como combinação de w_1,w_2,w_3:
(2,0,2)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(0,0,2).
Das componentes:
a=2.
a+b=0\implies b=-2.
b+2c=2\implies -2+2c=2\implies c=2.
Logo as coordenadas de F(v_2) em \mathcal{Y}_2 são \bigl[2,\,-2,\,2\bigr]^T.
Passo 5
Montando a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}_1,\mathcal{Y}_2} cujas colunas são essas coordenadas, obtemos