Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
identificarmos (1) os pontos críticos, (2) os intervalos de crescimento e decrescimento e (3) os máximos e mínimos locais. Como é uma função racional, vamos usar a derivada e analisar seu sinal. O domínio é
.
Passo 2
Calculamos a derivada usando a regra do quociente. Se
e
, então
Fatorando o numerador:
logo
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não existe (mas ainda no domínio). Temos
O denominador anula em
, mas
não pertence ao domínio, então descartamos para extremos locais. Logo, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para ver onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
. Como
em todo o domínio, o sinal vem de
:
- Se
, então e , produto positivo ⇒ . - Se
(com ), um fator é positivo e o outro negativo ⇒ . - Se
, ambos positivos ⇒ .
Passo 5
Dos sinais acima segue que:
-
cresce em e em . -
decresce em e em .
Passo 6
Classificamos os pontos críticos:
- Em
, muda de positivo para negativo ⇒ ponto de máximo local.
Calculamos
Máximo local em
.
- Em
, muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local.
Calculamos
Mínimo local em
.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Crescimento: e
.
Decrescimento: e
.
Máximo local: em .
Mínimo local: em .
Crescimento:
Decrescimento:
Máximo local: em
Mínimo local: em