Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}
identificarmos (1) os pontos críticos, (2) os intervalos de crescimento e decrescimento e (3) os máximos e mínimos locais. Como é uma função racional, vamos usar a derivada e analisar seu sinal. O domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do quociente. Se u(x)=x^{2}-3 e v(x)=x-2, então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x)(x-2)-(x^{2}-3)\cdot1}{(x-2)^{2}} =\frac{2x^{2}-4x-x^{2}+3}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}-4x+3}{(x-2)^{2}}.
Fatorando o numerador:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),
logo
f'(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe (mas ainda no domínio). Temos
f'(x)=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1\text{ ou }x=3.
O denominador anula em x=2, mas x=2 não pertence ao domínio, então descartamos para extremos locais. Logo, os pontos críticos são x=1 e x=3.

Passo 4

Para ver onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x). Como (x-2)^{2}>0 em todo o domínio, o sinal vem de (x-1)(x-3):
  • Se x<1, então (x-1)<0 e (x-3)<0, produto positivo ⇒ f'(x)>0.
  • Se 1<x<3 (com x\neq2), um fator é positivo e o outro negativo ⇒ f'(x)<0.
  • Se x>3, ambos positivos ⇒ f'(x)>0.

Passo 5

Dos sinais acima segue que:
  • f cresce em (-\infty,1) e em (3,\infty).
  • f decresce em (1,2) e em (2,3).

Passo 6

Classificamos os pontos críticos:
  • Em x=1, f' muda de positivo para negativo ⇒ ponto de máximo local.
    Calculamos
f(1)=\frac{1^{2}-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2.
Máximo local em \bigl(1,2\bigr).
  • Em x=3, f' muda de negativo para positivo ⇒ ponto de mínimo local.
    Calculamos
f(3)=\frac{3^{2}-3}{3-2}=\frac{6}{1}=6.
Mínimo local em \bigl(3,6\bigr).

Resposta

Pontos críticos: x=1 e x=3.
Crescimento: (-\infty,1) e (3,\infty).
Decrescimento: (1,2) e (2,3).
Máximo local: em \bigl(1,2\bigr).
Mínimo local: em \bigl(3,6\bigr).

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