Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=e^{2 x}+e^{-x}

Passo 1

O enunciado nos pede os pontos críticos de f, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os extremos locais de
f(x)=e^{2x}+e^{-x},
cujo domínio é todo \mathbb{R}. Vamos usar derivadas para encontrar f'(x), resolver f'(x)=0, estudar o sinal de f' e classificar o tipo de extremo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando regras de derivação de exponencial:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =2e^{2x}-e^{-x}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0\;\Longrightarrow\;2e^{2x}-e^{-x}=0 \;\Longrightarrow\;2e^{2x}=e^{-x} \;\Longrightarrow\;2e^{3x}=1 \;\Longrightarrow\;e^{3x}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\;3x=-\ln2 \;\Longrightarrow\;x=-\tfrac13\ln2.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x). Note que
f'(x)=e^{-x}\bigl(2e^{3x}-1\bigr),
onde e^{-x}>0 para todo x. O fator 2e^{3x}-1 é positivo se e somente se e^{3x}>\tfrac12, ou seja x>-\tfrac13\ln2. Assim:
  • f'(x)<0 em \bigl(-\infty,-\tfrac13\ln2\bigr) (função decresce).
  • f'(x)>0 em \bigl(-\tfrac13\ln2,\infty\bigr) (função cresce).

Passo 5

Como f' muda de negativo para positivo em x=-\tfrac13\ln2, esse ponto é um mínimo local. O valor de f ali é
f\bigl(-\tfrac13\ln2\bigr) =e^{2(-\frac13\ln2)}+e^{-(-\frac13\ln2)} =2^{-2/3}+2^{1/3} =3\cdot2^{-2/3}.
Não há máximo local, pois há apenas um ponto em que f' se anula e a curva cresce depois.

Resposta

Ponto crítico: x=-\tfrac13\ln2. f decresce em \bigl(-\infty,-\tfrac13\ln2\bigr) e cresce em \bigl(-\tfrac13\ln2,\infty\bigr).
Mínimo local em x=-\tfrac13\ln2 com valor f=3\cdot2^{-2/3}.
Não existem máximos locais.

Exercícios relacionados