Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado nos pede os pontos críticos de
, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os extremos locais de
cujo domínio é todo
. Vamos usar derivadas para encontrar
, resolver
, estudar o sinal de
e classificar o tipo de extremo.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando regras de derivação de exponencial:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Passo 4
Estudamos o sinal de
. Note que
onde
para todo
. O fator
é positivo se e somente se
, ou seja
. Assim:
-
em (função decresce). -
em (função cresce).
Passo 5
Como
muda de negativo para positivo em
, esse ponto é um mínimo local. O valor de
ali é
Não há máximo local, pois há apenas um ponto em que
se anula e a curva cresce depois.
Resposta
Ponto crítico:
.
decresce em
e cresce em
.
Mínimo local em com valor
.
Não existem máximos locais.
Mínimo local em
Não existem máximos locais.