Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de
dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de
os pontos e valores máximos e mínimos locais de
. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
identificarmos os pontos críticos, os intervalos de crescimento e de decrescimento, e os extremos locais. O conteúdo principal é cálculo de derivada de uma função de uma variável e o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio e a derivada de
. Como aparece
, o domínio é
Para achar , usamos a regra do produto em
:
Para achar
que simplifica para
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de
indefinida. Aqui
está definida em todo domínio
, então só resolvemos
Como
, a única solução é
Passo 4
Para classificar monotonicidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, então e , logo : é decrescente. - Se
, então e , logo : é crescente.
Passo 5
Como
decresce antes de
e cresce depois, por teste da primeira derivada
tem um mínimo local em
. Calculamos o valor:
Não há outro extremo local.
Resposta
Ponto crítico:
.
Intervalo de decrescimento: .
Intervalo de crescimento: .
Mínimo local: em com valor
.
Sem máximo local.
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de crescimento:
Mínimo local: em
Sem máximo local.