Exercício 4.26 Identifique os pontos críticos de f dada abaixo, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos e valores máximos e mínimos locais de f. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=x^{2} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{2}\ln(x)
identificarmos os pontos críticos, os intervalos de crescimento e de decrescimento, e os extremos locais. O conteúdo principal é cálculo de derivada de uma função de uma variável e o teste da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio e a derivada de f. Como aparece \ln(x), o domínio é x>0.
Para achar f'(x), usamos a regra do produto em x^{2}\cdot\ln(x):
f'(x)=2x\cdot\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}
que simplifica para
f'(x)=2x\ln(x)+x = x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de f' indefinida. Aqui f' está definida em todo domínio (0,\infty), então só resolvemos
x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)=0.
Como x>0, a única solução é
2\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{-1/2}.

Passo 4

Para classificar monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x)=x(2\ln(x)+1):
  • Se 0<x<e^{-1/2}, então \ln(x)<-1/2 e 2\ln(x)+1<0, logo f'(x)<0: f é decrescente.
  • Se x>e^{-1/2}, então \ln(x)>-1/2 e 2\ln(x)+1>0, logo f'(x)>0: f é crescente.

Passo 5

Como f decresce antes de x=e^{-1/2} e cresce depois, por teste da primeira derivada f tem um mínimo local em x=e^{-1/2}. Calculamos o valor:
f\bigl(e^{-1/2}\bigr) =(e^{-1/2})^{2}\ln\bigl(e^{-1/2}\bigr) =e^{-1}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) =-\tfrac{1}{2e}.
Não há outro extremo local.

Resposta

Ponto crítico: x=e^{-1/2}.
Intervalo de decrescimento: \;(0,e^{-1/2}).
Intervalo de crescimento: \;(e^{-1/2},\infty).
Mínimo local: em x=e^{-1/2} com valor f=-\tfrac{1}{2e}.
Sem máximo local.

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