Exercício 26. Seja S_{M} a superfície obtida pela rotação da curva z=\frac{1}{x} em torno do eixo z, com 1 \leq z \leq M. Calcule
\lim _{M \rightarrow \infty} \iint_{S_{M}} F \cdot N d S
onde F(x, y, z)=\left(x z,-y z, y-x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{M\to\infty}\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS,
onde F(x,y,z)=\big(xz,\,-yz,\,y-x^{2}\big) e S_{M} é a superfície obtida ao rotacionar a curva z=\dfrac{1}{x} em torno do eixo z, com 1\le z\le M. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  1. A curva z=\dfrac{1}{x} pode ser reescrita como x=\dfrac{1}{z}; ao rotacionar em torno do eixo z obtemos a superfície dada por
x^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{1}{z}\right)^{2},
para 1\le z\le M. Ou seja, o raio da seção transversal no plano z= constante é r=\dfrac{1}{z}.
  1. A superfície S_{M} é a “tampa lateral” do sólido V definido por
V=\{(x,y,z)\mid 1\le z\le M,\\ x^{2}+y^{2}\le (1/z)^{2}\}.
  1. Queremos o fluxo de F através de S_{M} (orientação implícita é a normal para fora do sólido V, já que S_{M} é a fronteira lateral do sólido).
  2. Não há outras figuras fornecidas; todas as informações necessárias estão acima.

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo): será prático usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss) fechando a superfície lateral S_{M} com as duas discos horizontais que aparecem em z=1 e z=M, formando a superfície fechada \partial V. O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suave F e um volume V com fronteira \partial V com normal exterior,
\iint_{\partial V} F\cdot N\,dS=\iiint_{V} \operatorname{div}F\,dV.
Vou calcular \operatorname{div}F primeiro (essa é uma conta direta e importante).
Cálculo de \operatorname{div}F: por definição,
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(-yz)+\frac{\partial}{\partial z}(y-x^{2}).
Agora derivo termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(xz)=z,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-yz)=-z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(y-x^{2})=0.
Somando,
\operatorname{div}F=z+(-z)+0=0.
Portanto \operatorname{div}F=0 em todo V.

Passo 3

Consequência direta: pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\partial V} F\cdot N\,dS=\iiint_{V} 0\,dV=0.
A fronteira \partial V é composta por três partes: a superfície lateral S_{M}, o disco inferior D_{1} em z=1 (raio 1) e o disco superior D_{M} em z=M (raio 1/M). Assim
\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS+\iint_{D_{M}} F\cdot N\,dS+\iint_{D_{1}} F\cdot N\,dS=0.
Dessa identidade obtemos
\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS=-\Big(\iint_{D_{M}} F\cdot N\,dS+\iint_{D_{1}} F\cdot N\,dS\Big).
Agora vou calcular os fluxos através dos discos D_{M} e D_{1}.

Passo 4

Fluxo através do disco superior D_{M} (em z=M, raio a=\dfrac{1}{M}). Para a superfície fechada, a normal exterior no disco superior aponta para cima, ou seja N=(0,0,1). Então em z=M,
F\cdot N=\text{componente }z\text{ de }F = y-x^{2}.
Logo
\iint_{D_{M}} F\cdot N\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le (1/M)^{2}} (y-x^{2})\,dA.
Para computar essa dupla integral uso coordenadas polares: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ dA=r\,dr\,d\theta. O disco tem 0\le r\le \dfrac{1}{M}, 0\le\theta\le 2\pi. Então
\iint_{D_{M}} (y-x^{2})\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/M} \big(r\sin\theta - r^{2}\cos^{2}\theta\big)\,r\,dr\,d\theta.
Separe as partes:
  1. Para a parte com y:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/M} r\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\int_{0}^{1/M} r^{2}\,dr.
Mas \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, então essa parte é 0.
  1. Para a parte com -x^{2}:
-\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/M} r^{2}\cos^{2}\theta\cdot r\,dr\,d\theta =-\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{1/M} r^{3}\,dr.
Sabemos que \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi e \displaystyle\int_{0}^{1/M} r^{3}\,dr=\frac{1}{4M^{4}}. Portanto esta parte vale
-\pi\cdot\frac{1}{4M^{4}}=-\frac{\pi}{4M^{4}}.
Somando as partes, obtemos
\iint_{D_{M}} F\cdot N\,dS=-\frac{\pi}{4M^{4}}.

Passo 5

Fluxo através do disco inferior D_{1} (em z=1, raio 1). Agora a normal exterior aponta para baixo (sair do volume para baixo), então N=(0,0,-1). Em z=1 temos F\cdot N=-(y-x^{2})=-y+x^{2}. Assim
\iint_{D_{1}} F\cdot N\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} (-y+x^{2})\,dA.
Novamente em coordenadas polares com 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi:
  1. A parte com -y dá zero por simetria ( \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0).
  2. A parte com x^{2}
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}.
Portanto
\iint_{D_{1}} F\cdot N\,dS=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Agora use a relação do Passo 3:
\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS=-\Big(\iint_{D_{M}} F\cdot N\,dS+\iint_{D_{1}} F\cdot N\,dS\Big).
Substituindo os valores calculados nos Passos 4 e 5:
\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS=-\Big(-\frac{\pi}{4M^{4}}+\frac{\pi}{4}\Big) =\frac{\pi}{4M^{4}}-\frac{\pi}{4}.

Passo 7

Finalmente, tomamos o limite quando M\to\infty. Observe que \dfrac{\pi}{4M^{4}}\to 0 quando M\to\infty. Logo
\lim_{M\to\infty}\iint_{S_{M}} F\cdot N\,dS=-\frac{\pi}{4}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{4}

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