Exercício 26. Seja
a superfície obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
, com
. Calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
e
é a superfície obtida ao rotacionar a curva
em torno do eixo
, com
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
pode ser reescrita como ; ao rotacionar em torno do eixo obtemos a superfície dada por
para
. Ou seja, o raio da seção transversal no plano
constante é
.
- A superfície
é a “tampa lateral” do sólido definido por
-
Queremos o fluxo de
através de (orientação implícita é a normal para fora do sólido , já que é a fronteira lateral do sólido). -
Não há outras figuras fornecidas; todas as informações necessárias estão acima.
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo): será prático usar o Teorema da Divergência (também chamado de Teorema de Gauss) fechando a superfície lateral
com as duas discos horizontais que aparecem em
e
, formando a superfície fechada
. O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial suave
e um volume
com fronteira
com normal exterior,
Vou calcular
primeiro (essa é uma conta direta e importante).
Cálculo de
: por definição,
Agora derivo termo a termo:
Somando,
Portanto
em todo
.
Passo 3
Consequência direta: pelo Teorema da Divergência,
A fronteira
é composta por três partes: a superfície lateral
, o disco inferior
em
(raio
) e o disco superior
em
(raio
). Assim
Dessa identidade obtemos
Agora vou calcular os fluxos através dos discos
e
.
Passo 4
Fluxo através do disco superior
(em
, raio
). Para a superfície fechada, a normal exterior no disco superior aponta para cima, ou seja
. Então em
,
Logo
Para computar essa dupla integral uso coordenadas polares:
. O disco tem
,
. Então
Separe as partes:
- Para a parte com
:
Mas
, então essa parte é
.
- Para a parte com
:
Sabemos que
e
. Portanto esta parte vale
Somando as partes, obtemos
Passo 5
Fluxo através do disco inferior
(em
, raio
). Agora a normal exterior aponta para baixo (sair do volume para baixo), então
. Em
temos
. Assim
Novamente em coordenadas polares com
,
:
-
A parte com
dá zero por simetria ( ). -
A parte com
dá
Portanto
Passo 6
Agora use a relação do Passo 3:
Substituindo os valores calculados nos Passos 4 e 5:
Passo 7
Finalmente, tomamos o limite quando
. Observe que
quando
. Logo