Exercício 26 (Tetraedro) Considere-se um tetraedro A B C D. Seja I o ponto definido por \overrightarrow{A I}=\frac{1}{5} \overrightarrow{A C}; seja J o ponto definido por \overrightarrow{A J}=\frac{1}{5} \overrightarrow{A D}; sejam K e L os pontos médios dos segmentos [B C] e [B D], respectivamente. Determinar se as retas (K I),(L J) e (A B) são concorrentes.

Passo 1

O enunciado trata de um tetraedro ABCD e pede para verificar se as retas (KI), (LJ) e (AB) são concorrentes.
Conteúdo: geometria vetorial em \mathbb R^3.
Vamos
  1. Escolher A como origem e usar vetores \mathbf e_1=\overrightarrow{AB}, \mathbf e_2=\overrightarrow{AC}, \mathbf e_3=\overrightarrow{AD}.
  2. Expressar I,J,K,L nessas bases.
  3. Parametrizar as retas (KI) e (LJ) e encontrar suas interseções com a reta (AB).

Passo 2

Definimos
A=\mathbf 0,\quad B=\mathbf e_1,\quad C=\mathbf e_2,\quad D=\mathbf e_3.
Então
I=A+\tfrac15\,\mathbf e_2,\quad J=A+\tfrac15\,\mathbf e_3,
pois \overrightarrow{AI}=\tfrac15\overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AJ}=\tfrac15\overrightarrow{AD}.

Passo 3

Os pontos médios K de [BC] e L de [BD] valem
K = B + \tfrac12\,(C-B) = \mathbf e_1 + \tfrac12(\mathbf e_2-\mathbf e_1) = \tfrac12\,\mathbf e_1 + \tfrac12\,\mathbf e_2,
L = B + \tfrac12\,(D-B) = \mathbf e_1 + \tfrac12(\mathbf e_3-\mathbf e_1) = \tfrac12\,\mathbf e_1 + \tfrac12\,\mathbf e_3.

Passo 4

Parametrizamos a reta (KI) por
X(s) = K + s\,(I-K).
Calculamos
I - K = \bigl(\tfrac15\mathbf e_2\bigr) -\bigl(\tfrac12\mathbf e_1+\tfrac12\mathbf e_2\bigr) = -\tfrac12\,\mathbf e_1 - \tfrac{3}{10}\,\mathbf e_2.
Logo
X(s) = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac s2\Bigr)\mathbf e_1 + \Bigl(\tfrac12 - \tfrac{3s}{10}\Bigr)\mathbf e_2.
Para que X(s) pertença a (AB) não pode haver componente em \mathbf e_2, isto é
\tfrac12 - \tfrac{3s}{10}=0 \;\Longrightarrow\; s=\tfrac53.
Então
X\Bigl(\tfrac53\Bigr) = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac{5/3}{2}\Bigr)\mathbf e_1 = -\tfrac13\,\mathbf e_1 \;=\; A - \tfrac13\,\overrightarrow{AB}.
Chamemos esse ponto de interseção P.

Passo 5

Analogamente, para (LJ) temos
Y(t)=L + t\,(J-L), \qquad J-L = -\tfrac12\,\mathbf e_1 - \tfrac{3}{10}\,\mathbf e_3,
e
Y(t) = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac t2\Bigr)\mathbf e_1 + \Bigl(\tfrac12 - \tfrac{3t}{10}\Bigr)\mathbf e_3.
Impondo componente em \mathbf e_3 nula dá t=5/3, o que leva a
Y\Bigl(\tfrac53\Bigr) = -\tfrac13\,\mathbf e_1 = P.
Logo (LJ) também cruza (AB) em P.

Resposta

As três retas são concorrentes. O ponto comum é
P \;=\; A \;-\;\tfrac13\,\overrightarrow{AB}.

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