Exercício 28 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(-1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4), C(-1 ; 1 ; 1).
28.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados. Calcular o produto escalar entre os vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}. Determinar a medida do ângulo \angle B A C.
28.2 Considere-se o vetor \vec{n}= (2,-1,-1). Mostrar que o vetor \vec{n} é normal ao plano (A B C). Determinar uma equação geral (equação cartesiana) do plano ( A B C ).
28.3 Sejam os planos \left(P_{1}\right): 3 x+y-2 z= -3 e o plano \left(P_{2}\right) que contém a origem
O das coordenadas e que é paralelo ao plano de equação geral x-2 z=-6. Determinar a equação do plano \left(P_{2}\right). Mostrar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) são concorrentes. Determinar uma representação paramétrica da reta (R)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right), interseção dos dois planos.
28.4 Mostrar que a reta (R)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right) do item anterior intercepta o plano (A B C) em um ponto I e determinar suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A(-1,2,0),\quad B(1,2,4),\quad C(-1,1,1)
e pede em 28.1 mostrar que não são alinhados, calcular \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} e o ângulo \angle BAC.
Em 28.2, com \vec n=(2,-1,-1), provar que \vec n é normal ao plano (ABC) e achar sua equação cartesiana.
Em 28.3, dado
P_1:\;3x+y-2z=-3
e P_2 paralelo a x-2z=-6 passando pela origem, determinar a equação de P_2, mostrar que P_1 e P_2 se intersectam e dar a forma paramétrica de R=P_1\cap P_2.
Em 28.4, achar a interseção I de R com o plano (ABC).

Passo 2

Calcular os vetores
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-1),\,2-2,\,4-0)=(2,0,4),
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-(-1),\,1-2,\,1-0)=(0,-1,1).
Para ver que não são colineares, notamos que \overrightarrow{AB} não é múltiplo de \overrightarrow{AC}.
O produto escalar é
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =2\cdot0+0\cdot(-1)+4\cdot1=4.
As normas são
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5,\quad \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt2.
Logo
\cos\angle BAC =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\|\overrightarrow{AB}\|\;\|\overrightarrow{AC}\|} =\frac{4}{2\sqrt5\;\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt{10}}.
Portanto
\angle BAC=\operatorname{arccos}\bigl(2/\sqrt{10}\bigr).

Passo 3

Para ver que \vec n=(2,-1,-1) é normal a (ABC), basta notar que \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,-2,-2)=2\,(2,-1,-1), isto é, \vec n é paralelo ao vetor normal do plano.
A equação cartesiana de (ABC) vem de
\vec n\cdot (X-A)=0 \;\Longrightarrow\; 2(x+1)-1(y-2)-1(z-0)=0
2x+2-y+2-z=0 \;\Longrightarrow\; 2x-y-z+4=0.

Passo 4

O plano P_2\) é paralelo a \(x-2z=-6\) (normal \((1,0,-2)\)) e passa por \(O\), logo \[P_2:\;1\cdot x+0\cdot y-2\cdot z=0 \;\Longrightarrow\; x-2z=0.
Como P_1 e P_2 têm normais (3,1,-2) e (1,0,-2) não paralelos, eles se intersectam numa reta R. Para a interseção, resolvemos
\begin{cases} 3x+y-2z=-3,\\\ x-2z=0. \end{cases}
Da segunda vem x=2z\]. Substituindo na primeira: \[3(2z)+y-2z=-3 \;\Longrightarrow\; 4z+y=-3 \;\Longrightarrow\; y=-3-4z.\] Tomando parâmetro \(t=z, obtemos a forma paramétrica de R:
R:\;(x,y,z)=(2t,\,-3-4t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para achar I=R\cap(ABC), substituímos na equação 2x-y-z+4=0:
2(2t)-\bigl(-3-4t\bigr)-t+4=0 \;\Longrightarrow\; 4t+3+4t-t+4=0 \;\Longrightarrow\; 7t+7=0 \;\Longrightarrow\; t=-1.
Logo
I=(2\cdot(-1),\,-3-4(-1),\,-1)=(-2,\,1,\,-1).

Resposta

O ponto de interseção é I(-2,1,-1).

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