Exercício 28 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(-1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4), C(-1 ; 1 ; 1).
28.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados. Calcular o produto escalar entre os vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}. Determinar a medida do ângulo \angle B A C.
28.2 Considere-se o vetor \vec{n}= (2,-1,-1). Mostrar que o vetor \vec{n} é normal ao plano (A B C). Determinar uma equação geral (equação cartesiana) do plano ( A B C ).
28.3 Sejam os planos \left(P_{1}\right): 3 x+y-2 z= -3 e o plano \left(P_{2}\right) que contém a origem O das coordenadas e que é paralelo ao plano de equação geral x-2 z=-6. Determinar a equação do plano \left(P_{2}\right). Mostrar que os planos \left(P_{1}\right) e \left(P_{2}\right) são concorrentes. Determinar uma representação paramétrica da reta (R)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right), interseção dos dois planos.
28.4 Mostrar que a reta (R)=\left(P_{1}\right) \cap\left(P_{2}\right) do item anterior intercepta o plano (A B C) em um ponto I e determinar suas coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá três pontos
A(-1,2,0),\quad B(1,2,4),\quad C(-1,1,1)
e pede em 28.1 mostrar que não são alinhados, calcular \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} e o ângulo \angle BAC.
Em 28.2, com \vec n=(2,-1,-1), provar que \vec n é normal ao plano (ABC) e achar sua equação cartesiana.
Em 28.3, dado
P_1:\;3x+y-2z=-3
e P_2 paralelo a x-2z=-6 passando pela origem, determinar a equação de P_2, mostrar que P_1 e P_2 se intersectam e dar a forma paramétrica de R=P_1\cap P_2.
Em 28.4, achar a interseção I de R com o plano (ABC).
Para ver que \vec n=(2,-1,-1) é normal a (ABC), basta notar que \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,-2,-2)=2\,(2,-1,-1), isto é, \vec n é paralelo ao vetor normal do plano.
A equação cartesiana de (ABC) vem de
O plano P_2\) é paralelo a \(x-2z=-6\) (normal \((1,0,-2)\)) e passa por \(O\), logo
\[P_2:\;1\cdot x+0\cdot y-2\cdot z=0 \;\Longrightarrow\; x-2z=0.
Como P_1 e P_2 têm normais (3,1,-2) e (1,0,-2) não paralelos, eles se intersectam numa reta R. Para a interseção, resolvemos
\begin{cases} 3x+y-2z=-3,\\\ x-2z=0. \end{cases}
Da segunda vem x=2z\]. Substituindo na primeira:
\[3(2z)+y-2z=-3 \;\Longrightarrow\; 4z+y=-3 \;\Longrightarrow\; y=-3-4z.\]
Tomando parâmetro \(t=z, obtemos a forma paramétrica de R: