Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f^{\prime}(x)=x^{2}-x-6

Passo 1

O enunciado dá a primeira derivada
f'(x)=x^{2}-x-6
e pede os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima e côncavo para baixo.
Para isso vamos usar o fato de que a concavidade de f é dada pelo sinal da segunda derivada f''(x):
  • se f''(x)>0, o gráfico é côncavo para cima;
  • se f''(x)<0, o gráfico é côncavo para baixo.

Passo 2

Calculamos a segunda derivada de f derivando f'(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x-6\bigr)=2x-1.

Passo 3

Agora determinamos onde f''(x) é positiva ou negativa:
f''(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\tfrac12,
f''(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad 2x-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\tfrac12.

Resposta

A função f é
côncava para cima em \bigl(\tfrac12,\infty\bigr)
e
côncava para baixo em \bigl(-\infty,\tfrac12\bigr).

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