Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f^{\prime}(x)=x(x-3)^{2}

Passo 1

O enunciado dá
f'(x)=x\,(x-3)^{2}
e pede os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima (onde f''(x)>0) e côncavo para baixo (onde f''(x)<0). Para isso precisamos calcular a segunda derivada f''(x) e estudar seu sinal sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos obter f''(x) usando a regra do produto em
f'(x)=x\,(x-3)^{2}.
Aplicando
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x\,(x-3)^{2}\bigr] =(1)\cdot(x-3)^{2}+x\cdot2\,(x-3)\cdot1 =(x-3)^{2}+2x\,(x-3).
Agora fatoramos:
(x-3)^{2}+2x\,(x-3) =(x-3)\bigl[(x-3)+2x\bigr] =(x-3)(3x-3) =3\,(x-1)(x-3).
Logo
f''(x)=3\,(x-1)(x-3).

Passo 3

Os zeros de f'' são x=1 e x=3. Para estudar o sinal de
f''(x)=3\,(x-1)(x-3)
observamos que o fator 3 é sempre positivo e que o produto (x-1)(x-3) é
  • positivo se ambos (x-1) e (x-3) têm o mesmo sinal;
  • negativo se têm sinais contrários.
Fazendo a análise por intervalos:
  • Para x<1: x-1<0 e x-3<0, produto >0.
  • Para 1<x<3: x-1>0 e x-3<0, produto <0.
  • Para x>3: x-1>0 e x-3>0, produto >0.

Passo 4

Como f''(x)>0 implica concavidade para cima e f''(x)<0 implica concavidade para baixo, concluímos:
  • f é côncavo para cima em (-\infty,1) e em (3,\infty).
  • f é côncavo para baixo em (1,3).

Resposta

Concavidade para cima: (-\infty,1) e (3,\infty)
Concavidade para baixo: (1,3)

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