Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os intervalos nos quais
possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima (onde
) e côncavo para baixo (onde
). Para isso precisamos calcular a segunda derivada
e estudar seu sinal sobre
.
Passo 2
Vamos obter
usando a regra do produto em
Aplicando
Agora fatoramos:
Logo
Passo 3
Os zeros de
são
e
. Para estudar o sinal de
observamos que o fator 3 é sempre positivo e que o produto
é
- positivo se ambos
e têm o mesmo sinal; - negativo se têm sinais contrários.
Fazendo a análise por intervalos:
- Para
: e , produto . - Para
: e , produto . - Para
: e , produto .
Passo 4
Como
implica concavidade para cima e
implica concavidade para baixo, concluímos:
-
é côncavo para cima em e em . -
é côncavo para baixo em .
Resposta
Concavidade para cima:
e
Concavidade para baixo:
Concavidade para baixo: