Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas
de funções
. Identifique os intervalos nos quais
possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a derivada
e pede os intervalos em que o gráfico de
é côncavo para cima (onde
) e côncavo para baixo (onde
).
Para isso, vamos calcular , fatorá-lo, encontrar suas raízes e analisar o sinal em cada intervalo.
Para isso, vamos calcular
Passo 2
Aplicamos a regra do produto a
Então
Logo
Passo 3
Fatoramos
. Colocando
em evidência:
Dentro dos colchetes temos
logo
Fatorando
nesse polinômio de segundo grau:
Portanto
As raízes de
são
e as raízes de
obtêm-se por fórmula de Bhaskara:
Denotemos
Passo 4
Para estudar o sinal de
note que o fator
é sempre positivo. O fator
é positivo se
e negativo se
. O trinômio
tem coeficiente principal positivo e raízes
, então ele é positivo fora do intervalo
e negativo dentro. Resumindo o sinal de
:
Para
:
, trinômio
⇒
.
Para :
, trinômio
⇒
.
Para :
, trinômio
⇒
.
Para :
, trinômio
⇒
.
Para
Para
Para
Passo 5
Concavidade para cima ocorre onde
; concavidade para baixo onde
.
Resposta
A função
é
côncava para cima em
côncava para cima em
e côncava para baixo em