Exercício 4.27 Abaixo seguem derivadas f^{\prime} de funções f. Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+1)^{-\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado dá f'(x)=(x+1)^{-2/3} e pede os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima e côncavo para baixo. O conteúdo aqui é análise de concavidade usando o sinal da segunda derivada f''.

Passo 2

Para achar f''(x) derivamos
f'(x) = (x+1)^{-\frac{2}{3}},
então
f''(x) = -\tfrac{2}{3}\,(x+1)^{-\frac{2}{3}-1} = -\tfrac{2}{3}\,(x+1)^{-\frac{5}{3}}.

Passo 3

Agora examinamos o sinal de f''(x). O fator -\tfrac{2}{3} é sempre negativo, e (x+1)^{-\tfrac{5}{3}} = 1/(x+1)^{5/3} tem o mesmo sinal de (x+1)^{5/3}.
  • Se x+1>0 (isto é, x>-1) então (x+1)^{5/3}>0, logo (x+1)^{-\tfrac{5}{3}}>0 e
f''(x) = -\tfrac{2}{3}\,(x+1)^{-\tfrac{5}{3}} < 0.
  • Se x+1<0 (isto é, x<-1) então (x+1)^{5/3}<0, logo (x+1)^{-\tfrac{5}{3}}<0 e
f''(x) = -\tfrac{2}{3}\,(x+1)^{-\tfrac{5}{3}} > 0.

Passo 4

Observamos que f''(x) não existe em x=-1, pois ali f' nem é definida. Assim os intervalos de análise são (-\infty,-1) e (-1,\infty).

Resposta

- f é côncava para cima em (-\infty,-1).
- f é côncava para baixo em (-1,\infty).

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