Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de
definida pela equação
O conteúdo envolvido é o de classificação de quádricas em
. Vamos primeiro reescrever essa equação para reconhecer uma forma padrão e, em seguida, descrever sua geometria.
Passo 2
Somando
em ambos os lados da equação, obtemos
Essa forma é exatamente a equação de uma esfera em
.
Passo 3
Na forma padrão de uma esfera
vemos que aqui
e
. Logo, o centro é a origem e o raio é
Passo 4
Para visualizar, note que para cada valor fixo de
com
, a seção transversal obtida em um plano paralelo ao plano
é
ou seja, um círculo de raio
. Conforme
aumenta de
a
, esses círculos vão se fechando até ponto em
.
Passo 5
No esboço, representamos os eixos
,
e
ortogonais, e desenhamos uma esfera de raio
centrada na origem. Pode-se indicar algumas seções como círculos de raio máximo
no plano
(quando
) e raios menores à medida que
cresce.
Resposta
A superfície é a esfera de centro na origem e raio
.