Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x^{2}=9-y^{2}-z^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de \mathbb{R}^{3} definida pela equação
x^{2}=9 - y^{2} - z^{2}.
O conteúdo envolvido é o de classificação de quádricas em \mathbb{R}^{3}. Vamos primeiro reescrever essa equação para reconhecer uma forma padrão e, em seguida, descrever sua geometria.

Passo 2

Somando y^{2}+z^{2} em ambos os lados da equação, obtemos
x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.
Essa forma é exatamente a equação de uma esfera em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Na forma padrão de uma esfera
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2},
vemos que aqui (x_{0},y_{0},z_{0}) = (0,0,0) e R^{2}=9. Logo, o centro é a origem e o raio é
R = 3.

Passo 4

Para visualizar, note que para cada valor fixo de x com -3 \le x \le 3, a seção transversal obtida em um plano paralelo ao plano yz é
y^{2} + z^{2} = 9 - x^{2},
ou seja, um círculo de raio \sqrt{9 - x^{2}}. Conforme |x| aumenta de 0 a 3, esses círculos vão se fechando até ponto em x=\pm3.

Passo 5

No esboço, representamos os eixos x, y e z ortogonais, e desenhamos uma esfera de raio 3 centrada na origem. Pode-se indicar algumas seções como círculos de raio máximo 3 no plano yz (quando x=0) e raios menores à medida que |x| cresce.

Resposta

A superfície é a esfera de centro na origem e raio 3.

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