Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e descrever a superfície em
dada pela equação
e, em seguida, esboçar essa superfície. O conteúdo envolve o reconhecimento de tipos de superfícies quadráticas (no caso, um cilindro parabólico) e o estudo de suas secções.
Passo 2
Observe que a equação não envolve
. Isso significa que, para cada par
que satisfaça
, qualquer valor de
também pertence à superfície. Logo, a superfície é obtida “repetindo” a curva
ao longo do eixo
.
Passo 3
Para cada plano horizontal
, a interseção com a superfície é
ou seja, uma parábola no plano
com concavidade voltada para o eixo
positivo.
Passo 4
Para cada plano vertical
, a interseção é
que é uma reta paralela ao eixo
. Isso confirma que a superfície é um cilindro gerado por uma parábola.
Passo 5
Uma parametrização natural é
com parâmetros
. Aqui o parâmetro
descreve a parábola e
“puxa” essa curva ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico cujo geratriz é paralela ao eixo
e cuja seção em qualquer plano
é a parábola
. O “bico” da parábola abre para
.