Exercício 28 - Identifique e descreva a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e descrever a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação
x = y^2
e, em seguida, esboçar essa superfície. O conteúdo envolve o reconhecimento de tipos de superfícies quadráticas (no caso, um cilindro parabólico) e o estudo de suas secções.

Passo 2

Observe que a equação não envolve z. Isso significa que, para cada par (x,y) que satisfaça x=y^2, qualquer valor de z também pertence à superfície. Logo, a superfície é obtida “repetindo” a curva x=y^2 ao longo do eixo z.

Passo 3

Para cada plano horizontal z = z_0, a interseção com a superfície é
x = y^2,\quad z=z_0,
ou seja, uma parábola no plano xy com concavidade voltada para o eixo x positivo.

Passo 4

Para cada plano vertical y = y_0, a interseção é
x = y_0^2,\quad y=y_0,
que é uma reta paralela ao eixo z. Isso confirma que a superfície é um cilindro gerado por uma parábola.

Passo 5

Uma parametrização natural é
\mathbf{r}(y,z) = \bigl(y^2,\;y,\;z\bigr),
com parâmetros (y,z)\in\mathbb{R}^2. Aqui o parâmetro y descreve a parábola e z “puxa” essa curva ao longo do eixo z.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico cujo geratriz é paralela ao eixo z e cuja seção em qualquer plano z=\text{constante} é a parábola x=y^2. O “bico” da parábola abre para x\ge0.

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