Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar os intervalos de concavidade para cima e para baixo da função
O conteúdo aqui é teste de concavidade via segunda derivada. Vamos calcular
, depois
, e em seguida estudar o sinal de
no domínio
.
Passo 2
Usamos a regra do quociente para obter
Passo 3
Fatorando o numerador em
, fica
Passo 4
Agora derivamos
. Usando a regra do produto e a derivada de
, obtemos após simplificar
Passo 5
Reescrevendo de forma mais conveniente,
Como
para todo
, o sinal de
vem de
.
Passo 6
As raízes de
são
e
. Fazendo o estudo de sinais em cada intervalo:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Passo 7
Concavidade para cima onde
e para baixo onde
.
Resposta
Concavidade para cima em
e concavidade para baixo em