Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{8 x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para identificar os intervalos de concavidade para cima e para baixo da função
f(x)=\frac{8x}{x^{2}+4}
O conteúdo aqui é teste de concavidade via segunda derivada. Vamos calcular f'(x), depois f''(x), e em seguida estudar o sinal de f''(x) no domínio \mathbb{R}.

Passo 2

Usamos a regra do quociente para obter
f'(x) =\frac{(8)\,(x^{2}+4)-8x\,(2x)}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{8x^{2}+32-16x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{32-8x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Fatorando o numerador em f'(x), fica
f'(x) =\frac{8\,(4 - x^{2})}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos f'(x)=8\,(4 - x^{2})\,(x^{2}+4)^{-2}. Usando a regra do produto e a derivada de (x^{2}+4)^{-2}, obtemos após simplificar
f''(x) =-16\,x\,(12 - x^{2})\,(x^{2}+4)^{-3}.

Passo 5

Reescrevendo de forma mais conveniente,
f''(x) =\frac{16\,x\,(x^{2}-12)}{(x^{2}+4)^{3}}.
Como (x^{2}+4)^{3}>0 para todo x, o sinal de f''(x) vem de x\,(x^{2}-12).

Passo 6

As raízes de x\,(x^{2}-12)=0 são x=0 e x=\pm2\sqrt{3}. Fazendo o estudo de sinais em cada intervalo:
  • Para x< -2\sqrt{3}: x<0 e x^{2}-12>0, logo f''(x)<0.
  • Para -2\sqrt{3}<x<0: x<0 e x^{2}-12<0, logo f''(x)>0.
  • Para 0<x<2\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-12<0, logo f''(x)<0.
  • Para x>2\sqrt{3}: x>0 e x^{2}-12>0, logo f''(x)>0.

Passo 7

Concavidade para cima onde f''(x)>0 e para baixo onde f''(x)<0.

Resposta

Concavidade para cima em
(-2\sqrt{3},\,0)\,\cup\,(2\sqrt{3},\,+\infty),
e concavidade para baixo em
(-\infty,\,-2\sqrt{3})\,\cup\,(0,\,2\sqrt{3}).

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