Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=6-2 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar os intervalos de concavidade de f(x)=6-2x-x^{2}. O domínio natural de um polinômio é \mathbb{R}. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: se f''(x)>0 então f é côncava para cima, e se f''(x)<0 então f é côncava para baixo.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando a regra de potência e a linearidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6-2x-x^{2}\bigr) = -2 - 2x.

Passo 3

Calcular a segunda derivada f''(x). Derivando f'(x)=-2-2x:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2-2x\bigr) = -2.

Passo 4

Analisar o sinal de f''(x). Como f''(x)=-2 é negativo para todo x\in\mathbb{R}, isso significa que o gráfico de f está sempre “virado para baixo”.

Resposta

Concavidade para cima: nenhum intervalo.
Concavidade para baixo: (-\infty,\infty).

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