Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em todo
e pede os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada
e analisar onde ela é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).
Passo 2
Primeiro, calculamos
usando a regra da cadeia. Escrevendo
temos
Passo 3
Agora derivamos
. Chamando
e
, temos
Pelo produto,
Passo 4
Colocando em denominador comum
, obtemos
Como
para todo
e
, o sinal de
é ditado por
Para
,
implica
(concavidade para baixo). Para
,
implica
(concavidade para cima).
Resposta
A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em