Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{5}{x^{4}+5}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{5}{x^{4}+5}
definida em todo \mathbb{R} e pede os intervalos de concavidade para cima e para baixo. Para isso, vamos calcular a segunda derivada f''(x) e analisar onde ela é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).

Passo 2

Primeiro, calculamos f'(x) usando a regra da cadeia. Escrevendo
f(x)=5\,(x^{4}+5)^{-1},
temos
f'(x)=5\cdot(-1)\,(x^{4}+5)^{-2}\cdot(4x^{3}) =-20\,x^{3}\,(x^{4}+5)^{-2}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=-20x^{3}(x^{4}+5)^{-2}. Chamando u(x)=-20x^{3} e v(x)=(x^{4}+5)^{-2}, temos
u'(x)=-60x^{2}, \quad v'(x)=-2\,(x^{4}+5)^{-3}\cdot(4x^{3}) =-8x^{3}\,(x^{4}+5)^{-3}.
Pelo produto,
f''(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-60x^{2}(x^{4}+5)^{-2} +(-20x^{3})\bigl(-8x^{3}(x^{4}+5)^{-3}\bigr).

Passo 4

Colocando em denominador comum (x^{4}+5)^{3}, obtemos
f''(x) =\frac{-60x^{2}(x^{4}+5)+160x^{6}}{(x^{4}+5)^{3}} =\frac{100x^{6}-300x^{2}}{(x^{4}+5)^{3}} =\frac{100x^{2}\,(x^{4}-3)}{(x^{4}+5)^{3}}.
Como (x^{4}+5)^{3}>0 para todo x e 100x^{2}\ge0, o sinal de f''(x) é ditado por
x^{4}-3\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt[4]{3}.
Para \lvert x\rvert<\sqrt[4]{3}, x^{4}-3<0 implica f''(x)<0 (concavidade para baixo). Para \lvert x\rvert>\sqrt[4]{3}, x^{4}-3>0 implica f''(x)>0 (concavidade para cima).

Resposta

A função é côncava para baixo em
\bigl(-\sqrt[4]{3},\,\sqrt[4]{3}\bigr)
e côncava para cima em
\bigl(-\infty,\,-\sqrt[4]{3}\bigr)\cup\bigl(\sqrt[4]{3},\infty\bigr).

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