Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para achar onde a função
é côncava para cima e côncava para baixo. O conteúdo envolvido é o estudo de concavidade via segunda derivada, logo precisaremos calcular
e
.
Passo 2
Vamos primeiro obter a derivada de
. Usando a regra do quociente ou reconhecendo que
temos
Também vale notar que essa expressão pode ser reescrita como
mas de todo modo já vemos que
para todo
.
Passo 3
Agora derivamos
para achar
. Usando a forma
aplicamos a regra do produto e a cadeia:
Passo 4
Como sabemos que
sempre, o sinal de
vem de
. Logo:
– Se então
.
– Se então
.
Mas é crescente de
a
e atinge
exatamente em
.
– Se
– Se
Mas
Passo 5
Para
temos
, logo
e
é côncava para cima.
Para temos
, logo
e
é côncava para baixo.
Para
Resposta
Concavidade para cima em
.
Concavidade para baixo em .
Concavidade para baixo em