Exercício 4.28 Identifique os intervalos nos quais f possui gráfico com concavidade para cima e concavidade para para baixo. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}.
f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função
f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}
é côncava para cima e côncava para baixo. O conteúdo envolvido é o estudo de concavidade via segunda derivada, logo precisaremos calcular f'(x) e f''(x).

Passo 2

Vamos primeiro obter a derivada de f. Usando a regra do quociente ou reconhecendo que
f(x)=(1+e^{-x})^{-1},
temos
f'(x)=-1\,(1+e^{-x})^{-2}\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) =\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}.
Também vale notar que essa expressão pode ser reescrita como
f'(x)=f(x)\bigl(1-f(x)\bigr),
mas de todo modo já vemos que f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para achar f''(x). Usando a forma
f'(x)=f(x)\bigl(1-f(x)\bigr),
aplicamos a regra do produto e a cadeia:
f''(x) =f'(x)\bigl(1-f(x)\bigr)+f(x)\bigl(-f'(x)\bigr) =f'(x)\bigl(1-2f(x)\bigr).

Passo 4

Como sabemos que f'(x)>0 sempre, o sinal de f''(x) vem de 1-2f(x). Logo:
– Se 1-2f(x)>0 então f''(x)>0.
– Se 1-2f(x)<0 então f''(x)<0.
Mas f(x) é crescente de 0 a 1 e atinge f(x)=\tfrac12 exatamente em x=0.

Passo 5

Para x<0 temos f(x)<\tfrac12, logo 1-2f(x)>0 e f é côncava para cima.
Para x>0 temos f(x)>\tfrac12, logo 1-2f(x)<0 e f é côncava para baixo.

Resposta

Concavidade para cima em (-\infty,0).
Concavidade para baixo em (0,\infty).

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