Exercício 28. Seja \theta um parâmetro de interesse.
Suponha agora que \theta tenha priori não informativa p(\theta) \propto \theta^{-1} \mathbb{1}_{(0, \infty)}(\theta)𝟙. Mostre que \varphi=\theta^{a}, a \neq 0, também tem priori não informativa p(\varphi) \propto \varphi^{-1} \mathbb{1}_{(0, \infty)}(\varphi)𝟙;

Passo 1

O enunciado diz que temos um parâmetro de interesse \theta com priori não informativa
p(\theta)\propto \theta^{-1}\,\mathbb{1}_{(0,\infty)}(\theta)𝟙
e define a transformação
\varphi = \theta^{a},\quad a\neq 0.
Queremos mostrar que a priori induzida em \varphi também é
p(\varphi)\propto \varphi^{-1}\,\mathbb{1}_{(0,\infty)}(\varphi).𝟙
Para isso vamos usar a fórmula de mudança de variável em densidade.

Passo 2

Expressamos a inversa da transformação e calculamos o Jacobiano. Da definição \varphi=\theta^{a} segue
\theta = \varphi^{1/a},
e como \varphi>0 então \theta>0. Agora computamos
\frac{d\theta}{d\varphi} =\frac{d}{d\varphi}\bigl(\varphi^{1/a}\bigr) =\frac{1}{a}\,\varphi^{\frac{1}{a}-1}.

Passo 3

Pela fórmula de mudança de variável, a priori de \varphi é
p(\varphi) = p\bigl(\theta(\varphi)\bigr)\,\Bigl|\tfrac{d\theta}{d\varphi}\Bigr| \propto \bigl[\theta(\varphi)\bigr]^{-1}\;\times\;\frac{1}{|a|}\,\varphi^{\frac{1}{a}-1}.
Substituindo \theta(\varphi)=\varphi^{1/a} obtemos
\bigl[\theta(\varphi)\bigr]^{-1} =\bigl(\varphi^{1/a}\bigr)^{-1} =\varphi^{-1/a},
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p(\varphi)\propto \varphi^{-1/a}\,\varphi^{\frac{1}{a}-1} =\varphi^{-1}\times\frac{1}{|a|}.

Passo 4

Como \tfrac1{|a|} é apenas uma constante de normalização, concluímos
p(\varphi)\propto \varphi^{-1}\,\mathbb{1}_{(0,\infty)}(\varphi),𝟙
ou seja, a priori em \varphi também é não informativa na forma de 1/\varphi.

Resposta

p(\varphi)\propto \varphi^{-1}\,\mathbb{1}_{(0,\infty)}(\varphi).𝟙

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