Exercício 28. Seja \theta um parâmetro de interesse.
Ainda de acordo com o item (b), mostre que \psi=\log \theta tem priori não informativa p(\psi) \propto \mathbb{1}_{\mathbb{R}}(\psi)𝟙 (ou seja, p(\psi) \propto constante).

Passo 1

O enunciado considera o parâmetro \theta>0 com priori não informativa
p(\theta)\propto\frac1\theta,
e pede a priori induzida para \psi=\log\theta. O conteúdo aqui é a transformação de variáveis em densidades de probabilidade.

Passo 2

Definimos a transformação inversa
\theta = e^{\psi},
cujo suporte é \psi\in\mathbb{R}. Para usar a mudança de variável, vamos calcular o jacobiano \tfrac{d\theta}{d\psi}.

Passo 3

Derivando \theta=e^{\psi} em relação a \psi, temos
\frac{d\theta}{d\psi}=e^{\psi}=\theta.
Pela regra de transformação de densidades,
p(\psi)=p(\theta)\,\biggl|\frac{d\theta}{d\psi}\biggr|.

Passo 4

Substituindo p(\theta)\propto1/\theta e \bigl|d\theta/d\psi\bigr|=\theta, obtemos
p(\psi)\propto \frac1\theta\;\theta=1.
Logo, a priori de \psi é constante em \mathbb{R}.

Resposta

p(\psi)\propto\mathbb{1}_{\mathbb{R}}(\psi)\quad\bigl(\text{isto é, }p(\psi)\propto\text{constante}\bigr).𝟙é

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