Exercício 29. Calcule a derivada das seguintes funções :
a) f(t)=37,
b) g(x)=17 x-65
c) H(u)=\frac{5 u+1}{3 \sqrt{u}}
d) \frac{d u}{d x} se u=x^{3}+x
e) f(t)=t^{1 / 2}+k
f) g(u)=u^{-2}+m
g) f(t)=2 \operatorname{sen}(t)+\frac{1}{2} \ln (a)
h) \frac{d y}{d t} se y=t-2 \frac{1}{t}
(i) f(x)=x^{3}+F(x)
j) h(u)=2 F(u)-3 e^{u}
k) f(x)=-3 \cos (x)+20 x^{-3 / 2}
(l) Agora calcule as derivadas segundas (derivada da derivada) das funções dos itens acima.
(m) No item (i) se soubermos que F^{\prime}(2)=5 (dados de laboratório, por exemplo), quanto vale f^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeiras das funções dos itens (a) a (k), depois as derivadas segundas dessas mesmas funções (item (l)) e, por fim, no item (m), avaliar a derivada de f(x)=x^3+F(x) em x=2 sabendo que F'(2)=5. Para isso usaremos:
– Derivada de constante é zero.
– Regra da soma: \bigl(u+v\bigr)'=u'+v'.
– Regra do produto por constante e poder: \bigl(c\,x^n\bigr)'=c\,n\,x^{n-1}.
– Regra do quociente ou reescrita em potência.
– Derivadas de funções elementares: \bigl(\sin x\bigr)'=\cos x, \bigl(\cos x\bigr)'=-\sin x, \bigl(e^x\bigr)'=e^x, \bigl(\ln a\bigr)'=0 se a é constante.

Passo 2

Itens (a) e (b), constantes e função linear.
a) Para f(t)=37
f'(t)=0.
b) Para g(x)=17x-65
g'(x)=17.

Passo 3

Item (c), quociente.
H(u)=\frac{5u+1}{3\sqrt{u}} =\frac{5u+1}{3\,u^{1/2}} =\frac{5}{3}u^{1/2}+\frac{1}{3}u^{-1/2}.
Derivando,
H'(u) =\frac{5}{3}\cdot\frac12\,u^{-1/2} +\frac{1}{3}\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)u^{-3/2} =\frac{5}{6}u^{-1/2}-\frac{1}{6}u^{-3/2}.

Passo 4

Item (d), soma de potências. Se u(x)=x^3+x, então
\frac{du}{dx}=3x^2+1.

Passo 5

Item (e), potência mais constante.
f(t)=t^{1/2}+k \quad\Longrightarrow\quad f'(t)=\frac12\,t^{-1/2}+0 =\frac{1}{2}t^{-1/2}.

Passo 6

Item (f), potência negativa mais constante.
g(u)=u^{-2}+m \quad\Longrightarrow\quad g'(u)=-2\,u^{-3}+0 =-2u^{-3}.

Passo 7

Item (g), trigonométrica e constante.
f(t)=2\sin(t)+\tfrac12\ln(a) \quad\Longrightarrow\quad f'(t)=2\cos(t)+0 =2\cos(t).

Passo 8

Item (h), reescrevendo y=t-2\frac1t=t-2t^{-1}.
\frac{dy}{dt} =1-2\cdot(-1)\,t^{-2} =1+2t^{-2}.

Passo 9

Item (i), soma de x^3 com F(x).
f(x)=x^3+F(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=3x^2+F'(x).

Passo 10

Item (j), combinação de F(u) e exponencial.
h(u)=2F(u)-3e^{u} \quad\Longrightarrow\quad h'(u)=2F'(u)-3e^{u}.

Passo 11

Item (k), cosseno e potência.
f(x)=-3\cos(x)+20x^{-3/2} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) =-3\bigl(-\sin(x)\bigr)+20\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr)x^{-5/2} =3\sin(x)-30x^{-5/2}.

Passo 12

Derivadas segundas dos itens (a)–(k), isto é, diferenciando cada f', g' etc.:
a) f'(t)=0
f''(t)=0.
b) g'(x)=17
g''(x)=0.
c) H'(u)=\frac{5}{6}u^{-1/2}-\frac{1}{6}u^{-3/2}
H''(u) =-\frac{5}{6}\cdot\frac12\,u^{-3/2} -\frac{1}{6}\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr)u^{-5/2} =-\frac{5}{12}u^{-3/2}+\frac{3}{12}u^{-5/2} =-\frac{5}{12}u^{-3/2}+\frac{1}{4}u^{-5/2}.
d) \frac{du}{dx}=3x^2+1
\frac{d^2u}{dx^2}=6x.
e) f'(t)=\tfrac12t^{-1/2}
f''(t)=\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)t^{-3/2} =-\tfrac14\,t^{-3/2}.
f) g'(u)=-2u^{-3}
g''(u)=-2\cdot(-3)u^{-4} =6u^{-4}.
g) f'(t)=2\cos(t)
f''(t)=2\bigl(-\sin(t)\bigr) =-2\sin(t).
h) \frac{dy}{dt}=1+2t^{-2}
\frac{d^2y}{dt^2}=2\cdot(-2)t^{-3} =-4t^{-3}.
i) f'(x)=3x^2+F'(x)
f''(x)=6x+F''(x).
j) h'(u)=2F'(u)-3e^u
h''(u)=2F''(u)-3e^u.
k) f'(x)=3\sin(x)-30x^{-5/2}
f''(x)=3\cos(x)-30\cdot\bigl(-\tfrac52\bigr)x^{-7/2} =3\cos(x)+75x^{-7/2}.

Passo 13

Item (m): em f(x)=x^3+F(x) temos f'(x)=3x^2+F'(x). Sabendo F'(2)=5,
f'(2)=3\cdot2^2+5=12+5=17.

Resposta

a) f'(t)=0
b) g'(x)=17
c) H'(u)=\tfrac{5}{6}u^{-1/2}-\tfrac{1}{6}u^{-3/2}
d) \tfrac{du}{dx}=3x^2+1
e) f'(t)=\tfrac12t^{-1/2}
f) g'(u)=-2u^{-3}
g) f'(t)=2\cos(t)
h) \tfrac{dy}{dt}=1+2t^{-2}
i) f'(x)=3x^2+F'(x)
j) h'(u)=2F'(u)-3e^{u}
k) f'(x)=3\sin(x)-30x^{-5/2}
l) Derivadas segundas:
a) 0, b) 0, c) -\tfrac{5}{12}u^{-3/2}+\tfrac{1}{4}u^{-5/2}, d) 6x, e) -\tfrac14t^{-3/2}, f) 6u^{-4}, g) -2\sin(t), h) -4t^{-3}, i) 6x+F''(x), j) 2F''(u)-3e^u, k) 3\cos(x)+75x^{-7/2}.
m) f'(2)=17.

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