Exercício 29. Calcule a derivada das seguintes funções :
a)
,
b)
c)
d)
se
e)
f)
g)
h)
se
(i)
j)
k)
(l) Agora calcule as derivadas segundas (derivada da derivada) das funções dos itens acima.
(m) No item (i) se soubermos que
(dados de laboratório, por exemplo), quanto vale
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(i)
j)
k)
(l) Agora calcule as derivadas segundas (derivada da derivada) das funções dos itens acima.
(m) No item (i) se soubermos que
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas primeiras das funções dos itens (a) a (k), depois as derivadas segundas dessas mesmas funções (item (l)) e, por fim, no item (m), avaliar a derivada de
em
sabendo que
. Para isso usaremos:
– Derivada de constante é zero.
– Regra da soma: .
– Regra do produto por constante e poder: .
– Regra do quociente ou reescrita em potência.
– Derivadas de funções elementares: ,
,
,
se
é constante.
– Derivada de constante é zero.
– Regra da soma:
– Regra do produto por constante e poder:
– Regra do quociente ou reescrita em potência.
– Derivadas de funções elementares:
Passo 2
Itens (a) e (b), constantes e função linear.
a) Para
a) Para
b) Para
Passo 3
Item (c), quociente.
Derivando,
Passo 4
Item (d), soma de potências. Se
, então
Passo 5
Item (e), potência mais constante.
Passo 6
Item (f), potência negativa mais constante.
Passo 7
Item (g), trigonométrica e constante.
Passo 8
Item (h), reescrevendo
.
Passo 9
Item (i), soma de
com
.
Passo 10
Item (j), combinação de
e exponencial.
Passo 11
Item (k), cosseno e potência.
Passo 12
Derivadas segundas dos itens (a)–(k), isto é, diferenciando cada
,
etc.:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 13
Item (m): em
temos
. Sabendo
,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l) Derivadas segundas:
a) , b)
, c)
, d)
, e)
, f)
, g)
, h)
, i)
, j)
, k)
.
a)
m)