Exercício 29. Seja \left(X_{1}, X_{2}\right) \mid\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right) \sim \operatorname{Trinomial}\left(n, \theta_{1}, \theta_{2}\right). Um estatístico decide reparametrizar o modelo definindo \lambda=\theta_{1} /\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) e \psi=\theta_{1}+\theta_{2}. (Esse tipo de procedimento é válido desde que a transformação de ( \theta_{1}, \theta_{2} ) para ( \lambda, \psi ) seja 1 a 1.)
(a) Escreva a função de probabilidade de \left(X_{1}, X_{2}\right) \mid(\lambda, \psi);
(b) Mostre que T=X_{1}+X_{2} é uma estatística suficiente para \psi. Interprete este resultado em termos de inferência para \psi;
(c) Obtenha a priori não informativa para \psi com base no resultado provado em (b);
(d) Imagine \psi como a probabilidade de sucesso em um experimento. Suponha que em n realizações do experimento t sucessos foram observados. Qual a probabilidade de sucesso em um futuro experimento?
Passo 1
O enunciado trata de \bigl(X_{1},X_{2}\bigr)\mid(\theta_{1},\theta_{2}) com distribuição multinomial trinomial de parâmetros n,\theta_{1},\theta_{2}. Definimos a reparametrização \lambda=\dfrac{\theta_{1}}{\theta_{1}+\theta_{2}} e \psi=\theta_{1}+\theta_{2}.
O que se pede:
(a) escrever a função de probabilidade em termos de \lambda,\psi;
(b) mostrar que T=X_{1}+X_{2} é suficiente para \psi e interpretar;
(c) obter a priori não informativa para \psi;
(d) usar esse resultado para predizer a probabilidade de sucesso num futuro experimento.
Aqui h depende de \psi e de T e g não depende de \psi. Pelo Teorema da Fatorização, T é estatística suficiente para \psi.
Interpretação: toda a informação sobre \psi contida em (X_{1},X_{2}) está em T.
Passo 4
(c) Como a parte relevante para \psi é \,T\sim\mathrm{Binomial}(n,\psi), a priori não informativa de Jeffreys para um binomial é
isto é, \pi(\psi)=\mathrm{Beta}\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).
Passo 5
(d) Após observar T=t sucessos em n ensaios, a posterior de \psi é \mathrm{Beta}\bigl(t+\tfrac12,\;n-t+\tfrac12\bigr). A probabilidade de sucesso num único novo experimento é o valor esperado dessa posterior, logo
(b) Por fatorização, T=X_{1}+X_{2} é suficiente para \psi. Interpretação: só precisamos contar T para inferir \psi.
(c) A priori não informativa de Jeffreys é \pi(\psi)\propto\psi^{-1/2}(1-\psi)^{-1/2}, i.e.\ \mathrm{Beta}(1/2,1/2).
(d) Probabilidade de sucesso em novo experimento: