Exercício 29. Seja \left(X_{1}, X_{2}\right) \mid\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right) \sim \operatorname{Trinomial}\left(n, \theta_{1}, \theta_{2}\right). Um estatístico decide reparametrizar o modelo definindo \lambda=\theta_{1} /\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) e \psi=\theta_{1}+\theta_{2}. (Esse tipo de procedimento é válido desde que a transformação de ( \theta_{1}, \theta_{2} ) para ( \lambda, \psi ) seja 1 a 1.)
(a) Escreva a função de probabilidade de \left(X_{1}, X_{2}\right) \mid(\lambda, \psi);
(b) Mostre que T=X_{1}+X_{2} é uma estatística suficiente para \psi. Interprete este resultado em termos de inferência para \psi;
(c) Obtenha a priori não informativa para \psi com base no resultado provado em (b);
(d) Imagine \psi como a probabilidade de sucesso em um experimento. Suponha que em n realizações do experimento t sucessos foram observados. Qual a probabilidade de sucesso em um futuro experimento?

Passo 1

O enunciado trata de \bigl(X_{1},X_{2}\bigr)\mid(\theta_{1},\theta_{2}) com distribuição multinomial trinomial de parâmetros n,\theta_{1},\theta_{2}. Definimos a reparametrização
\lambda=\dfrac{\theta_{1}}{\theta_{1}+\theta_{2}} e \psi=\theta_{1}+\theta_{2}.
O que se pede:
  • (a) escrever a função de probabilidade em termos de \lambda,\psi;
  • (b) mostrar que T=X_{1}+X_{2} é suficiente para \psi e interpretar;
  • (c) obter a priori não informativa para \psi;
  • (d) usar esse resultado para predizer a probabilidade de sucesso num futuro experimento.

Passo 2

(a) Começamos da pmf original
P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2}\mid\theta_{1},\theta_{2}) =\frac{n!}{x_{1}!\,x_{2}!\,(n-x_{1}-x_{2})!}\,\theta_{1}^{x_{1}}\, \theta_{2}^{x_{2}}\, \bigl(1-\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)^{\,n-x_{1}-x_{2}}.
Como \theta_{1}=\lambda\psi e \theta_{2}=(1-\lambda)\psi, substituímos e obtemos
P(x_{1},x_{2}\mid\lambda,\psi) =\frac{n!}{x_{1}!\,x_{2}!\,(n-x_{1}-x_{2})!}\, (\lambda\psi)^{x_{1}}\bigl((1-\lambda)\psi\bigr)^{x_{2}} \bigl(1-\psi\bigr)^{\,n-x_{1}-x_{2}}.

Passo 3

(b) Note que T=x_{1}+x_{2}. Reescrevendo a pmf em fatoração:
P(x_{1},x_{2}\mid\lambda,\psi) =\underbrace{\frac{n!}{T!\,(n-T)!}\, \psi^{T}(1-\psi)^{n-T}}_{h(T;\psi)} \;\times\; \underbrace{\frac{T!}{x_{1}!\,x_{2}!}\, \lambda^{x_{1}}(1-\lambda)^{x_{2}}}_{g(x_{1},x_{2}\mid T,\lambda)}.
Aqui h depende de \psi e de T e g não depende de \psi. Pelo Teorema da Fatorização, T é estatística suficiente para \psi.
Interpretação: toda a informação sobre \psi contida em (X_{1},X_{2}) está em T.

Passo 4

(c) Como a parte relevante para \psi é
\,T\sim\mathrm{Binomial}(n,\psi), a priori não informativa de Jeffreys para um binomial é
\pi(\psi)\propto\sqrt{I(\psi)} =\sqrt{\frac{n}{\psi(1-\psi)}}\propto\psi^{-\tfrac12}(1-\psi)^{-\tfrac12},
isto é,
\pi(\psi)=\mathrm{Beta}\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Passo 5

(d) Após observar T=t sucessos em n ensaios, a posterior de \psi é
\mathrm{Beta}\bigl(t+\tfrac12,\;n-t+\tfrac12\bigr). A probabilidade de sucesso num único novo experimento é o valor esperado dessa posterior, logo
P(\text{sucesso futuro}\mid t) =E[\psi\mid t] =\frac{t+\tfrac12}{\,n+1\,}.

Resposta

(a)
P(x_{1},x_{2}\mid \lambda,\psi) =\frac{n!}{x_{1}!\,x_{2}!\,(n-x_{1}-x_{2})!}\, (\lambda\psi)^{x_{1}}\bigl((1-\lambda)\psi\bigr)^{x_{2}} \bigl(1-\psi\bigr)^{\,n-x_{1}-x_{2}}.
(b) Por fatorização, T=X_{1}+X_{2} é suficiente para \psi. Interpretação: só precisamos contar T para inferir \psi.
(c) A priori não informativa de Jeffreys é
\pi(\psi)\propto\psi^{-1/2}(1-\psi)^{-1/2}, i.e.\ \mathrm{Beta}(1/2,1/2).
(d) Probabilidade de sucesso em novo experimento:
\frac{t+\tfrac{1}{2}}{\,n+1\,}.

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