Exercício 30 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas.
Determinar um sistema de equa-
ções cartesianas que definem a reta (R) com representação paramétrica
(R):\left\{\begin{array}{l} x=5+4 t \\\ y=1+3 t \\\ z=3+t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R}) .\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta (R) em \mathbb{R}^3 por sua forma paramétrica
x = 5 + 4t,\quad y = 1 + 3t,\quad z = 3 + t,
e pede um sistema de equações cartesianas que a defina. O conteúdo é “equação de reta no espaço” e vamos usar a identificação de ponto e vetor diretor, passando então para a forma simétrica e daí para o sistema de duas equações lineares.

Passo 2

Extraímos da forma paramétrica um ponto A e o vetor diretor \vec v:
A = (5,1,3), \qquad \vec v = (4,3,1).
Em geral, a reta pode ser escrita como A + t\,\vec v.

Passo 3

Escrevemos a forma simétrica igualando cada coordenada a t:
\frac{x - 5}{4} \;=\;\frac{y - 1}{3}\;=\;\frac{z - 3}{1}.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, igualamos em pares:
  1. Igualando \tfrac{x-5}{4}=\tfrac{y-1}{3} e multiplicando em cruz:
3(x-5) = 4(y-1) \;\;\Longrightarrow\;\; 3x - 15 = 4y - 4 \;\;\Longrightarrow\;\; 3x - 4y - 11 = 0.
  1. Igualando \tfrac{x-5}{4} = \tfrac{z-3}{1} e multiplicando em cruz:
x - 5 = 4(z-3) \;\;\Longrightarrow\;\; x - 5 = 4z - 12 \;\;\Longrightarrow\;\; x - 4z + 7 = 0.

Resposta

O sistema de equações cartesianas que define a reta (R) é
\begin{cases} 3x - 4y - 11 = 0,\\\ x - 4z + 7 = 0. \end{cases}

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