Exercício 30 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas.
Determinar um sistema de equa-
ções cartesianas que definem a reta (R) com representação paramétrica
(R):\left\{\begin{array}{l} x=5+4 t \\\ y=1+3 t \\\ z=3+t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R}) .\right.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta (R) em \mathbb{R}^3 por sua forma paramétrica
x = 5 + 4t,\quad y = 1 + 3t,\quad z = 3 + t,
e pede um sistema de equações cartesianas que a defina. O conteúdo é “equação de reta no espaço” e vamos usar a identificação de ponto e vetor diretor, passando então para a forma simétrica e daí para o sistema de duas equações lineares.
Passo 2
Extraímos da forma paramétrica um ponto A e o vetor diretor \vec v:
A = (5,1,3), \qquad \vec v = (4,3,1).
Em geral, a reta pode ser escrita como A + t\,\vec v.
Passo 3
Escrevemos a forma simétrica igualando cada coordenada a t: