Exercício 30 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas.
Determinar uma representação paramétrica da reta ( S ) dada pelo sistema de equações cartesianas
(S):\left\{\begin{aligned} x & +y-3 z=-1 \\\\ 2 x & +y-5 z=0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica da reta S\subset\mathbb{R}^3 definida pela interseção de dois planos dados por
\begin{cases} x + y - 3z = -1,\\\\ 2x + y - 5z = 0. \end{cases}
O conteúdo é “interseção de planos” e “representação paramétrica de reta”. Vamos tratar como um sistema de duas equações lineares em três incógnitas.

Passo 2

Como são duas equações e três incógnitas, a solução é uma reta. Para encontrar sua forma paramétrica, escolhemos uma variável livre. Seja
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Substituindo z=t nas equações, obtemos
x + y - 3t = -1,
2x + y - 5t = 0.

Passo 3

Da primeira equação vem
x + y = -1 + 3t,
e da segunda
2x + y = 5t.
Subtraindo a primeira da segunda:
(2x+y)-(x+y) = 5t - (-1+3t) \quad\Longrightarrow\quad x = 2t + 1.
Agora substituímos x=2t+1 em x+y=-1+3t:
2t + 1 + y = -1 + 3t \quad\Longrightarrow\quad y = t - 2.

Passo 4

Portanto
x = 2t + 1,\quad y = t - 2,\quad z = t,
com t\in\mathbb{R}. Em forma vetorial, escrevemos
(x,y,z) = (1,-2,0) + t\,(2,1,1).

Resposta

A representação paramétrica da reta (S) é
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = -2 + t,\\\ z = t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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