Exercício 30. Mostre que a priori de Jeffreys p(\boldsymbol{\theta}) \propto|\mathcal{I}(\boldsymbol{\theta})|^{1 / 2} é invariante a transformações 1 a 1 , ou seja, se \boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\theta}) for uma transformação 1 a 1 de \boldsymbol{\theta}, então a priori de Jeffreys para \varphi será p(\varphi) \propto|\mathcal{I}(\varphi)|^{1 / 2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a priori de Jeffreys
é invariante por transformação bijetora \boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\theta}).
O conteúdo envolve (1) transformação de variáveis em densidades e (2) regra de transformação da matriz de Fisher.
Passo 2
Quando fazemos a mudança de parâmetro \boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{\varphi}), a densidade a priori em \boldsymbol{\varphi} obedece
porque toda densidade transforma multiplicando o valor original pela razão de volume \bigl|\det(\partial\boldsymbol{\theta}/\partial\boldsymbol{\varphi})\bigr|.
Como \nabla_{\!\boldsymbol{\varphi}}\log f=\bigl(\tfrac{\partial\boldsymbol{\theta}}{\partial\boldsymbol{\varphi}}\bigr)^{T}\nabla_{\!\boldsymbol{\theta}}\log f, obtemos
Substituindo em p(\boldsymbol{\varphi})=p(\boldsymbol{\theta})\,|\det(\partial\boldsymbol{\theta}/\partial\boldsymbol{\varphi})| com p(\boldsymbol{\theta})\propto|\mathcal{I}_{\boldsymbol{\theta}}|^{1/2}, vem
Mostramos que sob qualquer transformação bijetora \boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\theta}), a priori de Jeffreys em \boldsymbol{\varphi} é