Exercício 31. Seja Y \mid \nu \sim t_{\nu}\left(\mu, \sigma^{2}\right), em que \mu e \sigma^{2} correspondem aos parâmetros de locação e escala, respectivamente. Neste caso,
p(y \mid \nu)=c\left(\nu, \sigma^{2}\right)\left[\nu+\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right]^{-\frac{\nu+1}{2}} \mathbb{1}_{\mathbb{R}}(y),𝟙
em que c\left(\nu, \sigma^{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right) \nu^{\nu / 2}}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi \sigma^{2}}}.

Terceira lista de exercícios
Estatística Bayesiana
Prof. Michel H. Montoril

(a) Considere \mu=0 e \sigma=1. Determine a função de verossimilhança de \nu;
(b) Mostre que o limite da verossimilhança em (a) quando \nu \rightarrow \infty é uma constante \delta \neq 0. Apresente o valor de \delta;
(c) Mostre que a priori de Jeffreys para \nu é dada por
p(\nu) \propto\left\{2 h(\nu)-\psi^{(2)}\left(\frac{\nu+1}{2}\right)+\psi^{(2)}\left(\frac{\nu}{2}\right)-\frac{2}{\nu}\right\}^{1 / 2}
em que \psi^{(2)}(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} \log \Gamma(z) corresponde à função trigama e h(\nu)=\frac{2}{\nu+1}-\frac{\nu+2}{\nu(\nu+3)}. Dica: Calcule primeiro E\left[\left(\nu+Y^{2}\right)^{-k}\right]=\int_{-\infty}^{\infty} c(\nu, 1)\left[\nu+y^{2}\right]^{-(\nu+2 k+1) / 2} d y.

Passo 1

O enunciado considera a distribuição de Student com \mu=0 e \sigma=1, ou seja
p(y\mid\nu) = c(\nu,1)\,\bigl[\nu+y^{2}\bigr]^{-\frac{\nu+1}{2}},
com
c(\nu,1) = \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr)\,\nu^{\nu/2}} {\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr)\,\sqrt{\pi}}.
Supondo uma amostra y_{1},\dots,y_{n} i.i.d. desta distribuição, queremos em (a) a verossimilhança L(\nu), em (b) seu limite quando \nu\to\infty e em (c) a priori de Jeffreys p(\nu)\propto\sqrt{I(\nu)}, onde I(\nu) é a informação de Fisher de um único Y.

Passo 2

A verossimilhança para a amostra é
L(\nu) =\prod_{i=1}^{n}p(y_{i}\mid\nu) =\Bigl[c(\nu,1)\Bigr]^{n} \prod_{i=1}^{n} \bigl[\nu+y_{i}^{2}\bigr]^{-\frac{\nu+1}{2}}.
Substituindo c(\nu,1), obtemos
L(\nu) = \left[ \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr)\,\nu^{\nu/2}} {\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr)\,\sqrt{\pi}} \right]^{\!n} \exp\Biggl\{ -\frac{\nu+1}{2}\sum_{i=1}^{n}\log\bigl(\nu+y_{i}^{2}\bigr) \Biggr\}.

Passo 3

Quando \nu\to\infty a densidade t_{\nu}(0,1) tende à N(0,1). Logo
\lim_{\nu\to\infty}p(y_{i}\mid\nu) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(-\tfrac{y_{i}^{2}}{2}\Bigr),
e
\lim_{\nu\to\infty}L(\nu) =\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\Bigl(-\tfrac{y_{i}^{2}}{2}\Bigr) = (2\pi)^{-n/2} \exp\Bigl(-\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr).
Logo o limite é a constante
\delta =(2\pi)^{-n/2} \exp\Bigl(-\tfrac12\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr)\neq0.

Passo 4

Para obter I(\nu) calculemos primeiro as derivadas de \ell(\nu)=\log p(Y\mid\nu) para um único Y.
\ell(\nu) =\log\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr) -\log\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr) +\tfrac{\nu}{2}\log\nu -\tfrac12\log\pi -\tfrac{\nu+1}{2}\log(\nu+Y^{2}).
Dessa forma
\frac{d^{2}\ell}{d\nu^{2}} = \underbrace{\frac14\,\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr) \;-\;\frac14\,\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr) \;+\;\frac{1}{2\nu}}_{d^{2}/d\nu^{2}\,\log c(\nu,1)} \;-\; \Bigl[ \frac{1}{\nu+Y^{2}} -\frac{\nu+1}{2(\nu+Y^{2})^{2}} \Bigr],
onde \psi^{(2)}(z)=d^{2}/dz^{2}\,\log\Gamma(z) é a trigama.

Passo 5

Precisamos das expectativas
E\!\bigl[(\nu+Y^{2})^{-1}\bigr] \quad\text{e}\quad E\!\bigl[(\nu+Y^{2})^{-2}\bigr].
Usando integrais da forma
\int_{-\infty}^{\infty}(\nu+y^{2})^{-a}dy
e propriedades de Gamma, obtém-se
E\!\bigl[(\nu+Y^{2})^{-1}\bigr] =\frac{1}{\nu+1}, \qquad E\!\bigl[(\nu+Y^{2})^{-2}\bigr] =\frac{\nu+2}{\nu(\nu+1)(\nu+3)}.

Passo 6

A informação de Fisher de um único Y é
I(\nu) =-\,E\!\Bigl[\frac{d^{2}\ell}{d\nu^{2}}\Bigr] =\underbrace{-\Bigl(\frac14\psi^{(2)}\!\tfrac{\nu+1}{2} -\frac14\psi^{(2)}\!\tfrac{\nu}{2} +\frac{1}{2\nu}\Bigr)}_{-\;d^{2}/d\nu^{2}\log c} \;+\;\frac{1}{\nu+1} \;-\; \frac{\nu+1}{2}\,\frac{\nu+2}{\nu(\nu+1)(\nu+3)}.
Agrupando termos define-se
h(\nu)=\frac{2}{\nu+1}-\frac{\nu+2}{\nu(\nu+3)},
e, após simplificar,
2\,I(\nu) =2\,h(\nu) -\frac{2}{\nu} -\psi^{(2)}\!\Bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\Bigr) +\psi^{(2)}\!\Bigl(\tfrac{\nu}{2}\Bigr).

Passo 7

A priori de Jeffreys é
p(\nu)\;\propto\;\sqrt{I(\nu)} \;\propto\; \Bigl\{ 2\,h(\nu) -\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr) +\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr) -\tfrac{2}{\nu} \Bigr\}^{1/2}.

Resposta

(a)
L(\nu) = \Bigl[ \frac{\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr)\,\nu^{\nu/2}} {\Gamma\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr)\,\sqrt{\pi}} \Bigr]^{n} \exp\Bigl\{ -\tfrac{\nu+1}{2}\sum_{i=1}^{n}\log(\nu+y_{i}^{2}) \Bigr\}.
(b)
\lim_{\nu\to\infty}L(\nu) =(2\pi)^{-n/2} \exp\Bigl(-\tfrac12\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr).
(c)
p(\nu)\propto \Bigl\{ 2\,h(\nu) -\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu+1}{2}\bigr) +\psi^{(2)}\!\bigl(\tfrac{\nu}{2}\bigr) -\tfrac{2}{\nu} \Bigr\}^{1/2},
com h(\nu)=\tfrac{2}{\nu+1}-\tfrac{\nu+2}{\nu(\nu+3)}.

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