Exercício 30. Reduza a matriz seguinte à forma escalonada
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 2 & 8 & 5 & 10 \\\\ 1 & 7 & 7 & 11 \\\\ 3 & 11 & 7 & 15 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma escalonada por linhas a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 2 & 8 & 5 & 10 \\\\ 1 & 7 & 7 & 11 \\\\ 3 & 11 & 7 & 15 \end{pmatrix}.
Vamos usar eliminação de Gauss: a cada passo escolhemos um pivô não nulo e zera­mos as entradas abaixo dele por combinação linear de linhas.

Passo 2

O primeiro pivô é a_{11}=1. Eliminamos abaixo:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - L_1,\quad L_4 \leftarrow L_4 - 3L_1.
Calculemos:
L_2 = (2,8,5,10) - 2\,(1,3,1,3) = (0,2,3,4),
L_3 = (1,7,7,11) - 1\,(1,3,1,3) = (0,4,6,8),
L_4 = (3,11,7,15) - 3\,(1,3,1,3) = (0,2,4,6).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 4 & 6 & 8 \\\\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

O segundo pivô é a_{22}=2. Zera­mos abaixo:
L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2,\quad L_4 \leftarrow L_4 - 1L_2.
Isso dá
L_3 = (0,4,6,8) - 2\,(0,2,3,4) = (0,0,0,0),
L_4 = (0,2,4,6) - 1\,(0,2,3,4) = (0,0,1,2).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para cumprir a definição de forma escalonada, colocamos a linha não nula acima da linha zero, trocando L_3 com L_4. Assim chegamos a
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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