Exercício 31 : Uma cultura bacteriana triplica a cada 2 horas. Escreva a função que modela o crescimento e determine quando atingirá 10.000 bactérias se começou com 100.

Passo 1

O problema fala de crescimento exponencial de bactérias que triplicam a cada 2 horas. Começamos com 100 bactérias e queremos saber quando chegarão a 10000. O conteúdo aqui é função exponencial e resolução de equações exponenciais usando logaritmos.

Passo 2

Em geral, se uma quantidade N cresce com fator a a cada intervalo T, a função é
N(t)=N_{0}\,a^{\,t/T}.
Como triplica ( a=3) a cada T=2 h e N_{0}=100, a modelagem fica
N(t)=100\cdot 3^{\,t/2}.

Passo 3

Para achar o tempo t em que N(t)=10000, montamos
100\cdot 3^{\,t/2}=10000.
Dividindo por 100, obtemos
3^{\,t/2}=100.

Passo 4

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\bigl(3^{\,t/2}\bigr)=\ln 100 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{2}\,\ln 3=\ln 100 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2\,\ln 100}{\ln 3}.

Passo 5

Calculando numericamente (usando \ln 100\approx4,6052 e \ln 3\approx1,0986):
t\approx\frac{2\cdot4,6052}{1,0986}\approx8,39\text{ horas},
ou seja, cerca de 8 h 23 min.

Resposta

A função é
N(t)=100\cdot 3^{\,t/2},
e ela atinge 10000 bactérias após aproximadamente 8,39 horas ( \approx 8 h 23 min).

Exercícios relacionados