Exercício 31. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva e, com essas informações, esboçar o gráfico da função
Informações dadas e pontos relevantes extraídos do enunciado:
- A função é
. - Devem ser encontradas as assíntotas horizontais (limites quando
) e verticais (pontos onde a função pode divergir por denominador zero). - A expressão no denominador é
, que depende de . - O esboço do gráfico precisa usar essas informações (domínio, assíntotas, comportamento em
, monotonicidade e concavidade serão úteis).
Passo 2
Domínio e possibilidade de assíntotas verticais. Vou estudar o denominador:
logo
Portanto o denominador nunca é zero nem fica indefinido, e a função está definida para todo
. Conclusões:
- O domínio é
. - Não existem assíntotas verticais (porque não há ponto onde a função exploda devido a denominador zero).
Passo 3
Comportamento para
— assíntota horizontal para a direita. Para
podemos fatorar
como
. Então, para
,
Como
e a função
é contínua em
, tem-se
Portanto existe uma assíntota horizontal à direita:
.
Passo 4
Comportamento para
— assíntota horizontal para a esquerda. Para
podemos usar
. Note que
Então para
(onde
),
Fazendo
dá
e
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda:
.
Passo 5
Direção de aproximação das assíntotas (útil para o esboço). Para
temos
, logo para
portanto
Isto mostra que, ao ir para
,
aproxima-se de
por baixo (valores sempre menores que
). Analogamente, para
tem-se
, então ao ir para
a função aproxima-se de
por cima.
Passo 6
Simetria da função (ajuda no esboço). Verifico
:
Logo
é uma função ímpar (simetria ímpar em relação à origem). Isso significa que basta analisar a metade positiva e refletir com sinal trocado para a metade negativa.
Passo 7
Monotonicidade — derivada primeira. Escrevo
e uso regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando o segundo termo:
, então
Colocando o fator comum
,
Como
para todo
, concluímos:
-
para todo . - A função é estritamente crescente em toda a reta real (sem máximos/minimos locais).
Passo 8
Concavidade — derivada segunda e ponto de inflexão. Diferencio
:
O sinal de
é dado por
(o fator
é sempre positivo). Assim:
- Para
, : concavidade voltada para baixo. - Para
, : concavidade voltada para cima. - Em
, e muda o sinal: é ponto de inflexão. Note também .
Passo 9
Pontos para orientar o esboço (valores numéricos simples). Alguns pontos para desenhar:
Para
:
(já bem próximo de
). Esses valores confirmam que a curva sobe de
em direção a
para
e, por simetria ímpar, desce de
em direção a
para
.
Passo 10
Esboço qualitativo do gráfico (descrição usando as informações):
- Domínio: toda a reta real.
- Sem assíntotas verticais.
- Assíntotas horizontais:
à direita e à esquerda. - Função ímpar e estritamente crescente.
- Ponto de inflexão e zero em
. - Concavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em . - Aproximação das assíntotas: para
, ; para , .
Com isso é possível desenhar a curva: começa próxima de
para
muito negativo, sobe (concavidade para cima) cruzando o eixo em
com ponto de inflexão, continua subindo (agora côncava para baixo) e aproxima-se de
por baixo quando
.