Exercício 31. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva e, com essas informações, esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}.
Informações dadas e pontos relevantes extraídos do enunciado:
  • A função é f(x)=\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}.
  • Devem ser encontradas as assíntotas horizontais (limites quando x\to\pm\infty) e verticais (pontos onde a função pode divergir por denominador zero).
  • A expressão no denominador é \sqrt[4]{x^{4}+1}, que depende de x^4.
  • O esboço do gráfico precisa usar essas informações (domínio, assíntotas, comportamento em 0, monotonicidade e concavidade serão úteis).

Passo 2

Domínio e possibilidade de assíntotas verticais. Vou estudar o denominador:
x^{4}+1\ge 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
logo
\sqrt[4]{x^{4}+1}\ge 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto o denominador nunca é zero nem fica indefinido, e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Conclusões:
  • O domínio é \mathbb{R}.
  • Não existem assíntotas verticais (porque não há ponto onde a função exploda devido a denominador zero).

Passo 3

Comportamento para x\to+\infty — assíntota horizontal para a direita. Para x>0 podemos fatorar (x^4+1)^{1/4} como x(1+1/x^4)^{1/4}. Então, para x\to+\infty,
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}=\frac{x}{x\,(1+1/x^{4})^{1/4}}=\frac{1}{(1+1/x^{4})^{1/4}}.
Como \displaystyle\lim_{x\to+\infty}1/x^{4}=0 e a função t\mapsto(1+t)^{-1/4} é contínua em t=0, tem-se
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{(1+0)^{1/4}}=1.
Portanto existe uma assíntota horizontal à direita: y=1.

Passo 4

Comportamento para x\to-\infty — assíntota horizontal para a esquerda. Para x<0 podemos usar |x|=-x. Note que
\sqrt[4]{x^{4}+1}=|x|\,(1+1/x^{4})^{1/4}.
Então para x\to-\infty (onde |x|=-x),
f(x)=\frac{x}{|x|\,(1+1/x^{4})^{1/4}}=\frac{x}{-x\,(1+1/x^{4})^{1/4}}=-\frac{1}{(1+1/x^{4})^{1/4}}.
Fazendo x\to-\infty 1/x^{4}\to 0 e
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{1}{(1+0)^{1/4}}=-1.
Portanto existe uma assíntota horizontal à esquerda: y=-1.

Passo 5

Direção de aproximação das assíntotas (útil para o esboço). Para x>0 temos (1+1/x^{4})^{1/4}>1, logo para x>0
\sqrt[4]{x^{4}+1}=x(1+1/x^{4})^{1/4}>x,
portanto
f(x)=\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}<1\quad\text{para todo }x>0.
Isto mostra que, ao ir para +\infty, f(x) aproxima-se de 1 por baixo (valores sempre menores que 1). Analogamente, para x<0 tem-se f(x)>-1, então ao ir para -\infty a função aproxima-se de -1 por cima.

Passo 6

Simetria da função (ajuda no esboço). Verifico f(-x):
f(-x)=\frac{-x}{\sqrt[4]{(-x)^{4}+1}}=\frac{-x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}=-\frac{x}{\sqrt[4]{x^{4}+1}}=-f(x).
Logo f é uma função ímpar (simetria ímpar em relação à origem). Isso significa que basta analisar a metade positiva e refletir com sinal trocado para a metade negativa.

Passo 7

Monotonicidade — derivada primeira. Escrevo f(x)=x\,(x^{4}+1)^{-1/4} e uso regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x)=1\cdot (x^{4}+1)^{-1/4} + x\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)(x^{4}+1)^{-5/4}\cdot 4x^{3}.
Simplificando o segundo termo: \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 4x^{3}=-x^{3}, então
f'(x)=(x^{4}+1)^{-1/4}+x\cdot\big(-x^{3}\big)\,(x^{4}+1)^{-5/4}.
Colocando o fator comum (x^{4}+1)^{-5/4},
f'(x)=(x^{4}+1)^{-5/4}\big((x^{4}+1)-x^{4}\big)=(x^{4}+1)^{-5/4}\cdot 1=(x^{4}+1)^{-5/4}.
Como (x^{4}+1)^{-5/4}>0 para todo x, concluímos:
  • f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função é estritamente crescente em toda a reta real (sem máximos/minimos locais).

Passo 8

Concavidade — derivada segunda e ponto de inflexão. Diferencio f'(x)=(x^{4}+1)^{-5/4}:
f''(x)=-\frac{5}{4}(x^{4}+1)^{-9/4}\cdot 4x^{3}=-5x^{3}(x^{4}+1)^{-9/4}.
O sinal de f''(x) é dado por -5x^{3} (o fator (x^{4}+1)^{-9/4} é sempre positivo). Assim:
  • Para x>0, f''(x)<0: concavidade voltada para baixo.
  • Para x<0, f''(x)>0: concavidade voltada para cima.
  • Em x=0, f''(0)=0 e muda o sinal: x=0 é ponto de inflexão. Note também f(0)=0.

Passo 9

Pontos para orientar o esboço (valores numéricos simples). Alguns pontos para desenhar:
f(0)=0,\qquad f(1)=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\approx 0{,}84,\qquad f(-1)=-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\approx -0{,}84.
Para x=2: \,f(2)=\dfrac{2}{\sqrt[4]{17}}\approx 0{,}985 (já bem próximo de 1). Esses valores confirmam que a curva sobe de 0 em direção a 1 para x>0 e, por simetria ímpar, desce de 0 em direção a -1 para x<0.

Passo 10

Esboço qualitativo do gráfico (descrição usando as informações):
  • Domínio: toda a reta real.
  • Sem assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: y=1 à direita e y=-1 à esquerda.
  • Função ímpar e estritamente crescente.
  • Ponto de inflexão e zero em (0,0).
  • Concavidade: côncava para cima em x<0, côncava para baixo em x>0.
  • Aproximação das assíntotas: para x\to+\infty, f(x)\to 1^{-}; para x\to-\infty, f(x)\to -1^{+}.
Com isso é possível desenhar a curva: começa próxima de -1 para x muito negativo, sobe (concavidade para cima) cruzando o eixo em (0,0) com ponto de inflexão, continua subindo (agora côncava para baixo) e aproxima-se de 1 por baixo quando x\to+\infty.

Resposta

\text{Assíntotas horizontais: } y=1 \text{ (quando } x\to+\infty),\; y=-1 \text{ (quando } x\to-\infty). }
\text{Assíntotas verticais: nenhuma.}í

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