Exercício 26. Prove pela definição que:
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to-\infty} e^{x}=0.
Informações dadas/úteis:
  • A função considerada é x\mapsto e^{x}.
  • A proposição a provar é que, quando x vai para -\infty, os valores de e^{x} se aproximam de 0.
  • A definição de limite que vamos usar (limite quando x\to-\infty): devemos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe um número real M tal que, sempre que x<M, vale
\lvert e^{x}-0\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Explicar propriedades do exponencial que vou usar (com linguagem simples).
  • Para todo número real x tem-se e^{x}>0. Ou seja, a função exponencial nunca é negativa nem zero.
  • A função x\mapsto e^{x} é estritamente crescente: se a<b então e^{a}<e^{b}. (Um modo rápido de ver isso é notar que e^{b}-e^{a}=e^{a}(e^{b-a}-1) e, se b-a>0, então e^{b-a}>1, logo a diferença é positiva.)
  • A função \ln é a inversa de e^{x}, isto é, para todo \varepsilon>0 vale e^{\ln\varepsilon}=\varepsilon e \ln(e^{y})=y para todo y\in\mathbb{R}.
Essas duas últimas propriedades permitem relacionar desigualdades entre x e \ln\varepsilon com desigualdades entre e^{x} e \varepsilon.

Passo 3

Transformar a condição da definição em algo que eu possa forçar.
Queremos \lvert e^{x}-0\rvert<\varepsilon, isto é simplesmente e^{x}<\varepsilon porque e^{x}>0. Usando que e^{x} é crescente e que e^{\ln\varepsilon}=\varepsilon, a desigualdade e^{x}<\varepsilon é equivalente a
x<\ln\varepsilon.
Portanto, se eu conseguir garantir x<\ln\varepsilon então automaticamente e^{x}<\varepsilon.

Passo 4

Construir a escolha de M pedida na definição.
Seja dado um \varepsilon>0. Como \ln\varepsilon está bem definido (pois \varepsilon>0), basta escolher
M=\ln\varepsilon.
Então, sempre que x<M (ou seja, x<\ln\varepsilon), a observação do passo anterior dá e^{x}<\varepsilon, isto é,
\lvert e^{x}-0\rvert<\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição: para todo \varepsilon>0 existe M (a saber M=\ln\varepsilon) tal que x<M\Rightarrow \lvert e^{x}-0\rvert<\varepsilon.

Passo 5

Conclusão final do argumento. Como a escolha de M funciona para qualquer \varepsilon>0, pela definição de limite quando x\to-\infty obtém-se
\lim_{x\to-\infty} e^{x}=0.

Resposta

0

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