Exercício 26. Prove pela definição que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas/úteis:
- A função considerada é
. - A proposição a provar é que, quando
vai para , os valores de se aproximam de . - A definição de limite que vamos usar (limite quando
): devemos mostrar que para todo existe um número real tal que, sempre que , vale
Passo 2
Explicar propriedades do exponencial que vou usar (com linguagem simples).
- Para todo número real
tem-se . Ou seja, a função exponencial nunca é negativa nem zero. - A função
é estritamente crescente: se então . (Um modo rápido de ver isso é notar que e, se , então , logo a diferença é positiva.) - A função
é a inversa de , isto é, para todo vale e para todo .
Essas duas últimas propriedades permitem relacionar desigualdades entre
e
com desigualdades entre
e
.
Passo 3
Transformar a condição da definição em algo que eu possa forçar.
Queremos , isto é simplesmente
porque
. Usando que
é crescente e que
, a desigualdade
é equivalente a
Queremos
Portanto, se eu conseguir garantir
então automaticamente
.
Passo 4
Construir a escolha de
pedida na definição.
Seja dado um . Como
está bem definido (pois
), basta escolher
Seja dado um
Então, sempre que
(ou seja,
), a observação do passo anterior dá
, isto é,
Isso mostra exatamente a condição da definição: para todo
existe
(a saber
) tal que
.
Passo 5
Conclusão final do argumento. Como a escolha de
funciona para qualquer
, pela definição de limite quando
obtém-se