Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=x^{3}+3 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar com rigor o gráfico de f(x)=x^{3}+3x^{2}+4. O conteúdo é análise de curvas e vamos precisar de: domínio, zeros de f, derivada primeira para extremos e monotonicidade, derivada segunda para inflexão e concavidade, limites laterais e no infinito, e assíntotas.

Passo 2

O domínio de f é todo o conjunto dos números reais, pois polinômios estão definidos em \mathbb{R}.
Para x\to\infty, como o termo dominante é x^{3},
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,
e para x\to-\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Não há assíntotas verticais (nenhum ponto de descontinuidade) nem horizontais ou oblíquas (função cresce sem tender a uma reta).

Passo 3

Para encontrar as raízes, resolvemos
x^{3}+3x^{2}+4=0.
Testando valores inteiros, f(-3)=(-27)+27+4=4>0 e f(-4)=(-64)+48+4=-12<0, logo há uma raiz real em (-4,-3). Aproximando numericamente, obtemos x\approx-3{,}363. Como é um polinômio de grau ímpar, tem exatamente uma raiz real e dois complexos conjugados.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2).
As soluções f'(x)=0 são x=0 e x=-2. Montando o quadro de sinais de f':
para x<-2, x(x+2)>0 f'(x)>0 (cresce);
para -2<x<0, x(x+2)<0 f'(x)<0 (decresce);
para x>0, x(x+2)>0 f'(x)>0 (cresce).
Logo x=-2 é máximo local e x=0 é mínimo local. Os valores são
f(-2)=(-8)+12+4=8,\quad f(0)=4.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda:
f''(x)=6x+6.
A inflexão ocorre quando f''(x)=0, isto é, em x=-1. Para x<-1, f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>-1, f''(x)>0 (concavidade para cima). O ponto de inflexão é
(-1,\;f(-1))=(-1,\;(-1)+3+4) =(-1,6).

Passo 6

Com todos os dados:
— Raiz real em x\approx-3{,}363.
— Máximo local em (-2,8).
— Mínimo local em (0,4).
— Ponto de inflexão em (-1,6).
— Cresce em (-\infty,-2) e (0,\infty); decresce em (-2,0).
— Concavidade para baixo em (-\infty,-1); para cima em (-1,\infty).
— Limites nos extremos são \pm\infty; sem assíntotas.
A partir disso traçamos uma cúbica suave que sobe de -\infty, atinge um máximo em (-2,8), desce até (0,4), muda de concavidade em (-1,6) e volta a subir para +\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raiz real: x\approx-3{,}363.
Máximo local: (-2,8).
Mínimo local: (0,4).
Ponto de inflexão: (-1,6).
Crescimento: (-\infty,-2)\cup(0,\infty).
Decrescimento: (-2,0).
Concavidade: para baixo em (-\infty,-1), para cima em (-1,\infty).
Limites: \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Assíntotas: nenhuma.

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