Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar com rigor o gráfico de
. O conteúdo é análise de curvas e vamos precisar de: domínio, zeros de
, derivada primeira para extremos e monotonicidade, derivada segunda para inflexão e concavidade, limites laterais e no infinito, e assíntotas.
Passo 2
O domínio de
é todo o conjunto dos números reais, pois polinômios estão definidos em
.
Para , como o termo dominante é
,
Para
e para
,
Não há assíntotas verticais (nenhum ponto de descontinuidade) nem horizontais ou oblíquas (função cresce sem tender a uma reta).
Passo 3
Para encontrar as raízes, resolvemos
Testando valores inteiros,
e
, logo há uma raiz real em
. Aproximando numericamente, obtemos
. Como é um polinômio de grau ímpar, tem exatamente uma raiz real e dois complexos conjugados.
Passo 4
Calculamos a derivada primeira:
As soluções
são
e
. Montando o quadro de sinais de
:
para
,
⇒
(cresce);
para ,
⇒
(decresce);
para ,
⇒
(cresce).
para
para
Logo
é máximo local e
é mínimo local. Os valores são
Passo 5
Calculamos a derivada segunda:
A inflexão ocorre quando
, isto é, em
. Para
,
(concavidade para baixo) e para
,
(concavidade para cima). O ponto de inflexão é
Passo 6
Com todos os dados:
— Raiz real em .
— Máximo local em .
— Mínimo local em .
— Ponto de inflexão em .
— Cresce em e
; decresce em
.
— Concavidade para baixo em ; para cima em
.
— Limites nos extremos são ; sem assíntotas.
— Raiz real em
— Máximo local em
— Mínimo local em
— Ponto de inflexão em
— Cresce em
— Concavidade para baixo em
— Limites nos extremos são
A partir disso traçamos uma cúbica suave que sobe de
, atinge um máximo em
, desce até
, muda de concavidade em
e volta a subir para
.
Resposta
Domínio:
.
Raiz real: .
Máximo local: .
Mínimo local: .
Ponto de inflexão: .
Crescimento: .
Decrescimento: .
Concavidade: para baixo em , para cima em
.
Limites: ,
.
Assíntotas: nenhuma.
Raiz real:
Máximo local:
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade: para baixo em
Limites:
Assíntotas: nenhuma.