Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
com domínio máximo em
. Para isso vamos encontrar domínio, raízes, pontos críticos (derivada), monotonicidade, concavidade (segunda derivada), limites (inclusive para assíntotas) e então montar o esboço.
Passo 2
O domínio de
é todo
exceto onde o denominador é zero. Logo
Em
há descontinuidade infinita, indicando possivelmente uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Para achar as raízes, resolve-se
Logo
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada para verificar pontos críticos e monotonicidade:
Como
para todo
, temos
em
e em
. Isso mostra que
é estritamente crescente em cada ramo e não há máximos ou mínimos locais.
Passo 5
A segunda derivada indica concavidade:
Em
temos
, portanto concavidade para baixo; em
temos
, concavidade para cima. Não há ponto de inflexão em domínio, pois a mudança acontece em
, que não pertence ao domínio.
Passo 6
Analisamos limites e assíntotas.
- Limites em zero:
Há assíntota vertical
.
- Limites no infinito:
Para achar a assíntota oblíqua
, use
Logo a assíntota oblíqua é
, válida também quando
.
Passo 7
Resumo do esboço:
- Domínio em dois ramos,
e . - Estritamente crescente em cada ramo.
- Concavidade para cima em
, para baixo em . - Interceptos em
e . - Assíntota vertical
. - Assíntota oblíqua
. - Para
, ; para , . - Para
, as curvas aproximam-se de .
Com isso, basta desenhar cada ramo curvado, cruzando o eixo
em
e
, passando de concavidade oposta em cada lado de zero, e aproximando as assíntotas indicadas.
Resposta
O gráfico de
é formado por dois ramos em
e
, estritamente crescentes, concavidade para cima à esquerda e para baixo à direita, com raízes em
e
, assíntota vertical
e assíntota oblíqua
.