Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=x-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x-\frac{1}{x}
com domínio máximo em \mathbb{R}. Para isso vamos encontrar domínio, raízes, pontos críticos (derivada), monotonicidade, concavidade (segunda derivada), limites (inclusive para assíntotas) e então montar o esboço.

Passo 2

O domínio de f é todo \mathbb{R} exceto onde o denominador é zero. Logo
\dom(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Em x=0 há descontinuidade infinita, indicando possivelmente uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Para achar as raízes, resolve-se
x-\frac{1}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Logo f(1)=0 e f(-1)=0.

Passo 4

Calculamos a derivada para verificar pontos críticos e monotonicidade:
f'(x) =1+\frac{1}{x^2}.
Como 1/x^2>0 para todo x\neq0, temos f'(x)>0 em (-\infty,0) e em (0,\infty). Isso mostra que f é estritamente crescente em cada ramo e não há máximos ou mínimos locais.

Passo 5

A segunda derivada indica concavidade:
f''(x) =-2\,x^{-3} =-\frac{2}{x^3}.
Em x>0 temos f''(x)<0, portanto concavidade para baixo; em x<0 temos f''(x)>0, concavidade para cima. Não há ponto de inflexão em domínio, pois a mudança acontece em x=0, que não pertence ao domínio.

Passo 6

Analisamos limites e assíntotas.
  1. Limites em zero:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\bigl(x-\tfrac1x\bigr)=-\infty, \quad \lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty.
Há assíntota vertical x=0.
  1. Limites no infinito:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(x-\frac1x\Bigr)=\pm\infty.
Para achar a assíntota oblíqua y=mx+b, use
m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1, \quad b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-x\bigr) =\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\frac1x\Bigr)=0.
Logo a assíntota oblíqua é y=x, válida também quando x\to-\infty.

Passo 7

Resumo do esboço:
  • Domínio em dois ramos, (-\infty,0) e (0,\infty).
  • Estritamente crescente em cada ramo.
  • Concavidade para cima em x<0, para baixo em x>0.
  • Interceptos em (-1,0) e (1,0).
  • Assíntota vertical x=0.
  • Assíntota oblíqua y=x.
  • Para x\to0^-, f\to+\infty; para x\to0^+, f\to-\infty.
  • Para x\to\pm\infty, as curvas aproximam-se de y=x.
Com isso, basta desenhar cada ramo curvado, cruzando o eixo x em -1 e 1, passando de concavidade oposta em cada lado de zero, e aproximando as assíntotas indicadas.

Resposta

O gráfico de f(x)=x-\tfrac1x é formado por dois ramos em (-\infty,0) e (0,\infty), estritamente crescentes, concavidade para cima à esquerda e para baixo à direita, com raízes em (-1,0) e (1,0), assíntota vertical x=0 e assíntota oblíqua y=x.

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