Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em
. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de
usando conceitos de domínio, raízes, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, inflexões e assíntotas.
Passo 2
Determinar o domínio e o sinal de
.
O denominador só zera em
, então
O denominador
Não há raízes pois o numerador é constante
. Para o sinal, note que
– se ,
e
;
– se ,
e
.
– se
– se
Passo 3
Calcular
e estudar monotonicidade.
Resolvendo
dá
(único ponto crítico no domínio). Como
sempre, o sinal de
vem de
:
– para ,
⇒
é crescente;
– para ,
⇒
é decrescente.
Assim cresce em
e
e decresce em
e
. Em
,
é um máximo local.
– para
– para
Assim
Passo 4
Calcular
e estudar concavidade.
Escrevendo e diferenciando:
Escrevendo
O numerador
. Então o sinal de
é o mesmo de
:
– em ,
⇒
(concavidade para cima);
– em ,
⇒
(concavidade para baixo).
Não há pontos de inflexão no domínio (a concavidade só muda em , que são singularidades).
– em
– em
Não há pontos de inflexão no domínio (a concavidade só muda em
Passo 5
Determinar limites e assíntotas.
Verticais em :
Verticais em
Horizontal em
:
Resposta
– Domínio:
.
– Sem raízes.
– Assíntotas verticais: ,
.
– Assíntota horizontal: .
– Monotonicidade: crescente em e
; decrescente em
e
.
– Ponto crítico em , com
(máximo local).
– Concavidade: para cima em ; para baixo em
.
– Não há ponto de inflexão no domínio.
– Sem raízes.
– Assíntotas verticais:
– Assíntota horizontal:
– Monotonicidade: crescente em
– Ponto crítico em
– Concavidade: para cima em
– Não há ponto de inflexão no domínio.
O esboço exibe dois ramos hiperbólicos:
- Para
, , cresce a partir de quando até em , com concavidade para cima. - Para
, , cresce de em até em , depois decresce até em , com concavidade para baixo. - Para
, , decresce de em até em , com concavidade para cima.