Exercício 4.31 Esboce o gráfico (com rigor) das seguintes funções. Considere que os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R}. Obs.: procure encontrar domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidades, limites laterais, limites no infinito e assíntotas.
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço rigoroso do gráfico de
f(x)=\frac{1}{x^{2}-1},
usando conceitos de domínio, raízes, pontos críticos, monotonicidade, concavidade, inflexões e assíntotas.

Passo 2

Determinar o domínio e o sinal de f.
O denominador x^{2}-1 só zera em x=\pm1, então
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.
Não há raízes pois o numerador é constante 1\neq0. Para o sinal, note que
– se \lvert x\rvert>1, x^{2}-1>0 e f(x)>0;
– se \lvert x\rvert<1, x^{2}-1<0 e f(x)<0.

Passo 3

Calcular f'(x) e estudar monotonicidade.
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl((x^{2}-1)^{-1}\Bigr) =-\,(x^{2}-1)^{-2}\cdot2x =-\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Resolvendo f'(x)=0 x=0 (único ponto crítico no domínio). Como (x^{2}-1)^{2}>0 sempre, o sinal de f' vem de -2x:
– para x<0, f'(x)>0 f é crescente;
– para x>0, f'(x)<0 f é decrescente.
Assim f cresce em (-\infty,-1) e (-1,0) e decresce em (0,1) e (1,\infty). Em x=0, f(0)=-1 é um máximo local.

Passo 4

Calcular f''(x) e estudar concavidade.
Escrevendo f'(x)=-2x\,(x^{2}-1)^{-2} e diferenciando:
f''(x) =-2\,(x^{2}-1)^{-2} +(-2x)\cdot(-2)\,(x^{2}-1)^{-3}\cdot2x =\frac{2\,(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
O numerador 2(3x^{2}+1)>0. Então o sinal de f'' é o mesmo de (x^{2}-1)^{3}:
– em \lvert x\rvert>1, (x^{2}-1)^{3}>0 f''>0 (concavidade para cima);
– em \lvert x\rvert<1, (x^{2}-1)^{3}<0 f''<0 (concavidade para baixo).
Não há pontos de inflexão no domínio (a concavidade só muda em x=\pm1, que são singularidades).

Passo 5

Determinar limites e assíntotas.
Verticais em x=\pm1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to(-1)^-}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to(-1)^+}f(x)=-\infty.
Horizontal em y=0:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.

Resposta

– Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.
– Sem raízes.
– Assíntotas verticais: x=-1, x=1.
– Assíntota horizontal: y=0.
– Monotonicidade: crescente em (-\infty,-1) e (-1,0); decrescente em (0,1) e (1,\infty).
– Ponto crítico em x=0, com f(0)=-1 (máximo local).
– Concavidade: para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); para baixo em (-1,1).
– Não há ponto de inflexão no domínio.
O esboço exibe dois ramos hiperbólicos:
  1. Para x<-1, f>0, cresce a partir de y=0^+ quando x\to-\infty até +\infty em x\to-1^-, com concavidade para cima.
  2. Para -1<x<1, f<0, cresce de -\infty em x=-1^+ até -1 em x=0, depois decresce até -\infty em x=1^-, com concavidade para baixo.
  3. Para x>1, f>0, decresce de +\infty em x=1^+ até 0^+ em x\to+\infty, com concavidade para cima.

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