Exercício 31 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano (P) que passa pelos pontos A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 0 ; 4), C(2 ; 2 ;-1).
O plano com representação paramétrica
\left(P_{4}\right):\left\{\begin{array}{l} x=1-s \\\ y=-1+2 t \quad(s, t \in \mathbb{R}) \\\ z=2 s \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a representação paramétrica
(P_{4}) : \begin{cases} x = 1 - s,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 2s \end{cases} \quad (s,t\in\mathbb{R})
de fato descreve o plano (P) que passa pelos pontos
A(1,1,0),\quad B(-1,0,4),\quad C(2,2,-1).
Para isso, vamos usar a ideia de que um plano determinado por três pontos não-colineares pode ser escrito em forma paramétrica como
\mathbf{r}(u,v)=\overrightarrow{OA}+u\,\overrightarrow{AB}+v\,\overrightarrow{AC}.

Passo 2

Calculemos primeiro os vetores diretores do plano (P):
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1,0,4)-(1,1,0)=(-2,-1,4),
\overrightarrow{AC}=C-A = (2,2,-1)-(1,1,0)=(1,1,-1).

Passo 3

Verifiquemos se os pontos A e B pertencem a (P_{4}) resolvendo para (s,t):
  • Para A(1,1,0):
    x-componente 1 = 1 - s s=0.
    y-componente 1 = -1 + 2t t=1.
    z-componente 0 = 2s = 0.
    Logo, A\in(P_{4}).
  • Para B(-1,0,4):
    x-componente -1 = 1 - s s=2.
    y-componente 0 = -1 + 2t t=\tfrac12.
    z-componente 4 = 2s = 4.
    Logo, B\in(P_{4}).

Passo 4

Verifiquemos agora C(2,2,-1) em (P_{4}):
2 = 1 - s \implies s = -1, \quad 2 = -1 + 2t \implies t = \tfrac32, \quad -1 = 2s \implies s = -\tfrac12.
As duas equações para s são incompatíveis -1\neq -\tfrac12, logo C\notin(P_{4}). Portanto (P_{4}) não contém todos os três pontos.

Resposta

A representação paramétrica (P_{4}) não corresponde ao plano determinado por A, B e C.

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