Exercício 31 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal ( O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ) de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano (P) que passa pelos pontos A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 0 ; 4), C(2 ; 2 ;-1).
O plano com representação paramétrica
\left(P_{4}\right):\left\{\begin{array}{l} x=1-s \\\ y=-1+2 t \quad(s, t \in \mathbb{R}) \\\ z=2 s \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a representação paramétrica
(P_{4}) : \begin{cases} x = 1 - s,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = 2s \end{cases} \quad (s,t\in\mathbb{R})
de fato descreve o plano (P) que passa pelos pontos
A(1,1,0),\quad B(-1,0,4),\quad C(2,2,-1).
Para isso, vamos usar a ideia de que um plano determinado por três pontos não-colineares pode ser escrito em forma paramétrica como