Exercício 32. Calcule a derivada de:
f(x)=\frac{\left(x^{3}+7\right) \cos (x)}{x^{2}(\operatorname{sen}(x)+1)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{(x^{3}+7)\cos(x)}{x^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)}.
O conteúdo principal envolve a regra do quociente, e dentro dela a regra do produto para o numerador e para o denominador.

Passo 2

Definimos
u(x)=(x^{3}+7)\cos(x), \qquad v(x)=x^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr).
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=g(x)\,h(x) com g(x)=x^{3}+7 e h(x)=\cos(x), então
g'(x)=3x^{2}, \qquad h'(x)=-\sin(x).
Logo
u'(x) =3x^{2}\cos(x)-(x^{3}+7)\sin(x).

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=p(x)\,q(x) com p(x)=x^{2} e q(x)=\operatorname{sen}(x)+1, temos
p'(x)=2x, \qquad q'(x)=\cos(x).
Então
v'(x) =2x\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)+x^{2}\cos(x).

Passo 5

Substituindo na regra do quociente,
f'(x) =\frac{\bigl[3x^{2}\cos(x)-(x^{3}+7)\sin(x)\bigr]\;x^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr) -(x^{3}+7)\cos(x)\bigl[\,2x(\operatorname{sen}(x)+1)+x^{2}\cos(x)\bigr]} {x^{4}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\bigl[3x^{2}\cos(x)-(x^{3}+7)\sin(x)\bigr]\,x^{2}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr) -(x^{3}+7)\cos(x)\bigl[2x(\operatorname{sen}(x)+1)+x^{2}\cos(x)\bigr]} {x^{4}\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr)^{2}}.

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