Exercício 34. Considere as funções trigonométricas hiperbólicas senh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dadas por
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad \text { e } \quad \operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
Use a regra da cadeia para verificar que \operatorname{senh}^{\prime}(x)=\operatorname{cosh} (x) e \operatorname{cosh} ^{\prime}(x)=\operatorname{senh}(x).

Passo 1

O enunciado dá as definições
\senh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad\text{e}\quad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}
e pede para mostrar, usando a regra da cadeia, que
\senh'(x)=\operatorname{cosh}(x) e \operatorname{cosh}'(x)=\senh(x).
Para isso, vamos usar o fato de que, para qualquer função u(x),
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 2

Calcular \senh'(x).
Começamos derivando o numerador de \senh(x):
  • Derivada de e^{x} é 1\cdot e^{x}=e^{x}.
  • Derivada de -e^{-x} é -1 vezes a derivada de e^{-x}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{-x}=(-1)\,e^{-x},
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\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr) = -\bigl(-1\,e^{-x}\bigr)=e^{-x}.
Somando, a derivada do numerador é e^{x}+e^{-x}. Dividindo por 2,
\senh'(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Calcular \operatorname{cosh}'(x).
Agora o numerador de \operatorname{cosh}(x) é e^{x}+e^{-x}.
  • Derivada de e^{x} é e^{x}.
  • Derivada de e^{-x}, pela regra da cadeia, é (-1)\,e^{-x}.
    Somando, a derivada do numerador é e^{x}-e^{-x}. Dividindo por 2,
\operatorname{cosh}'(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\senh(x).

Resposta

\senh'(x)=\operatorname{cosh}(x)
\operatorname{cosh}'(x)=\senh(x)

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