Exercício 32. Calcule a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}(x) \ln (x)\left(e^{x}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin(x)\,\ln(x)\,\bigl(e^x+1\bigr).
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto para três fatores e as derivadas elementares de \sin(x), \ln(x) e e^x+1.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin(x),\quad v(x)=\ln(x),\quad w(x)=e^x+1
e calculamos suas derivadas:
u'(x)=\cos(x),\quad v'(x)=\frac{1}{x},\quad w'(x)=e^x.

Passo 3

Usamos a regra do produto para três funções:
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 4

Substituindo as derivadas de u, v e w em f'(x) e simplificando, obtemos
f'(x) =\cos(x)\,\ln(x)\,\bigl(e^x+1\bigr) +\sin(x)\,\frac{1}{x}\,\bigl(e^x+1\bigr) +\sin(x)\,\ln(x)\,e^x.
Opcionalmente, podemos agrupar o fator \bigl(e^x+1\bigr):
f'(x) =(e^x+1)\Bigl[\ln(x)\,\cos(x)+\tfrac{\sin(x)}{x}\Bigr] +\sin(x)\,\ln(x)\,e^x.

Resposta

f'(x) =\cos(x)\,\ln(x)\,\bigl(e^x+1\bigr) +\frac{\sin(x)}{x}\,\bigl(e^x+1\bigr) +\sin(x)\,\ln(x)\,e^x.

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