Exercício 32. Determine, em cada item, qual dos números é maior:
2^{\frac{2}{5}} ou 2^{\frac{5}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois números e dizer qual é o maior:
  • comparar 2^{\frac{2}{5}} e 2^{\frac{5}{2}}.
    As informações dadas são exatamente os dois números exponenciais com base 2 e expoentes \frac{2}{5} e \frac{5}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos transformar os expoentes em forma decimal para ver o tamanho relativo deles:
\frac{2}{5}=0,4,\qquad \frac{5}{2}=2,5.
Logo o expoente 2,5 é claramente maior que 0,4.

Passo 3

Agora uma propriedade importante e básica que usaremos (explicada passo a passo): para qualquer base a>1 e quaisquer reais x e y,
se x>y então a^{x}>a^{y}.
Explicação intuitiva e demonstração curta: calcule a razão
\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}.
Se x>y então x-y>0. Como a>1, qualquer potência positiva de a é maior que 1, ou seja a^{x-y}>1. Portanto \dfrac{a^{x}}{a^{y}}>1, o que implica a^{x}>a^{y}. Essa é uma justificativa elementar que não usa cálculo avançado.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com a=2, x=\dfrac{5}{2} e y=\dfrac{2}{5}: como já vimos \dfrac{5}{2}>\dfrac{2}{5} e 2>1, segue que
2^{\frac{5}{2}}>2^{\frac{2}{5}}.
Mostro também o cálculo da diferença dos expoentes para ficar cristalino:
\frac{5}{2}-\frac{2}{5}=\frac{25-4}{10}=\frac{21}{10}=2,1,
logo
\frac{2^{\frac{5}{2}}}{2^{\frac{2}{5}}=}=2^{2,1}>1,
confirmando a desigualdade.

Passo 5

Método alternativo (útil em prova para evitar argumentos teóricos): elevar ambos os números à mesma potência positiva preserva a ordem. Escolhendo a potência 10 (múltiplo dos denominadores 2 e 5):
\bigl(2^{\frac{2}{5}}\bigr)^{10}=2^{4}=16, \qquad \bigl(2^{\frac{5}{2}}\bigr)^{10}=2^{25}=33554432.
Como 16<33554432, segue que 2^{\frac{2}{5}}<2^{\frac{5}{2}}.

Passo 6

Conclusão intuitiva rápida: com base 2>1, quanto maior o expoente, maior o valor da potência. Aqui 2,5 é muito maior que 0,4, então 2^{2,5} é muito maior que 2^{0,4}. Vamos em frente — você já sabe o argumento formal para usar na prova!

Resposta

2^{\frac{5}{2}} > 2^{\frac{2}{5}}

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