Exercício 32. Determine, em cada item, qual dos números é maior:
ou
Passo 1
O enunciado pede para comparar dois números e dizer qual é o maior:
- comparar
e .
As informações dadas são exatamente os dois números exponenciais com basee expoentes e .
Passo 2
Primeiro vamos transformar os expoentes em forma decimal para ver o tamanho relativo deles:
Logo o expoente
é claramente maior que
.
Passo 3
Agora uma propriedade importante e básica que usaremos (explicada passo a passo): para qualquer base
e quaisquer reais
e
,
se então
.
se
Explicação intuitiva e demonstração curta: calcule a razão
Se
então
. Como
, qualquer potência positiva de
é maior que
, ou seja
. Portanto
, o que implica
. Essa é uma justificativa elementar que não usa cálculo avançado.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
,
e
: como já vimos
e
, segue que
Mostro também o cálculo da diferença dos expoentes para ficar cristalino:
logo
confirmando a desigualdade.
Passo 5
Método alternativo (útil em prova para evitar argumentos teóricos): elevar ambos os números à mesma potência positiva preserva a ordem. Escolhendo a potência
(múltiplo dos denominadores
e
):
Como
, segue que
.
Passo 6
Conclusão intuitiva rápida: com base
, quanto maior o expoente, maior o valor da potência. Aqui
é muito maior que
, então
é muito maior que
. Vamos em frente — você já sabe o argumento formal para usar na prova!