Exercício 33. Escreva como um único radical:
\sqrt{45}+\sqrt{80}

Passo 1

O enunciado pede para escrever como um único radical a expressão fornecida. As informações que temos são:
  • A expressão dada é \sqrt{45}+\sqrt{80}.
  • Queremos reescrever essa soma de raízes como uma única raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar cada raiz extraindo fatores quadrados perfeitos. Para isso usamos a propriedade (válida para números não negativos) \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
Calculemos \sqrt{45}:
\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{9}\,\sqrt{5}=3\sqrt{5}.
Calculemos \sqrt{80}:
\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{16}\,\sqrt{5}=4\sqrt{5}.

Passo 3

Agora somamos as duas expressões já simplificadas. Como ambas têm o fator comum \sqrt{5}, podemos somar os coeficientes numéricos:
\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=(3+4)\sqrt{5}=7\sqrt{5}.
Explicando de forma bem direta: 3\sqrt{5} e 4\sqrt{5} são “termos semelhantes” porque ambos são múltiplos de \sqrt{5}; somam-se apenas os coeficientes (3 e 4).

Passo 4

Para escrever 7\sqrt{5} como um único radical, usamos novamente a propriedade das raízes em sentido inverso: para k\ge 0 e a\ge 0 vale k\sqrt{a}=\sqrt{k^2}\,\sqrt{a}=\sqrt{k^2 a}. Aqui k=7 e a=5, portanto
7\sqrt{5}=\sqrt{7^2}\,\sqrt{5}=\sqrt{49\cdot 5}=\sqrt{245}.
Note que isso preserva o sinal correto porque estamos trabalhando com raízes principais (não negativas).

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): \sqrt{45}\approx 6,7082 e \sqrt{80}\approx 8,9443, a soma é aproximadamente 15,6525. E \sqrt{245}\approx 15,6525. Os valores batem, então a transformação está correta.

Resposta

\sqrt{245}

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