Exercício 3.33. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva e o vetor unitário tangente T dado pelas equações paramétricas abaixo, no ponto dado:
x=2 t, y=e^{-t}, z=t-t^{2} \quad no ponto $\quad(0,1,0);

Passo 1

O enunciado dá a curva por equações paramétricas e pede duas coisas no ponto dado:
  • Curva: x=2t,\; y=e^{-t},\; z=t-t^{2}.
  • Ponto pedido: (0,1,0).
O que é pedido:
  1. Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto (0,1,0).
  2. Encontrar o vetor unitário tangente \mathbf{T} nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As funções que descrevem a curva são x(t)=2t, y(t)=e^{-t}, z(t)=t-t^{2}.
  • É necessário determinar o valor do parâmetro t que corresponde ao ponto (0,1,0) antes de calcular a tangente.

Passo 2

Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Representamos a curva como função vetorial
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle=\langle 2t,\,e^{-t},\,t-t^{2}\rangle.
  • A derivada \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade da curva; geometricamente é um vetor tangente à curva em cada ponto. Para obter a direção da reta tangente no parâmetro t usamos \mathbf{r}'(t).
  • O vetor unitário tangente é dado por
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
onde \|\mathbf{v}\| é a norma Euclidiana do vetor \mathbf{v}, isto é, se \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle então
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Regra de derivação usada aqui (breve lembrete):
  • Derivada de 2t é 2.
  • Derivada de e^{-t} é -e^{-t} (regra da cadeia: derivada de -t é -1).
  • Derivada de t-t^{2} é 1-2t.

Passo 3

Determinar o valor de t que corresponde ao ponto (0,1,0).
Resolver x=2t=0
t=0.
Verificar as outras coordenadas no mesmo t:
y(0)=e^{0}=1, \qquad z(0)=0-0^{2}=0.
Como essas verificações coincidem com o ponto dado, o parâmetro buscado é t_{0}=0.

Passo 4

Calcular a derivada vetorial \mathbf{r}'(t) componente a componente usando as regras de derivação citadas:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}(2t),\;\frac{d}{dt}(e^{-t}),\;\frac{d}{dt}(t-t^{2})\right\rangle =\langle 2,\,-e^{-t},\,1-2t\rangle.

Passo 5

Avaliar \mathbf{r}'(t) no ponto t_{0}=0:
\mathbf{r}'(0)=\langle 2,\,-e^{0},\,1-0\rangle=\langle 2,\,-1,\,1\rangle.
Esse vetor \langle 2,-1,1\rangle é a direção da reta tangente no ponto (0,1,0).

Passo 6

Escrever as equações paramétricas da reta tangente.
  • Usamos a forma vetorial da reta tangente: \mathbf{r}_{\text{reta}}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}), onde s é um parâmetro novo (real).
  • O ponto \mathbf{r}(0) é \langle 0,1,0\rangle. Então
\mathbf{r}_{\text{reta}}(s)=\langle 0,1,0\rangle + s\langle 2,-1,1\rangle=\langle 2s,\,1-s,\,s\rangle.
As equações paramétricas desta reta são, portanto,
x=2s,\qquad y=1-s,\qquad z=s,\qquad s\in\mathbb{R}.

Passo 7

Calcular o vetor unitário tangente \mathbf{T} no ponto.
  • Primeiro a norma de \mathbf{r}'(0)=\langle 2,-1,1\rangle:
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
  • Então o vetor unitário tangente é
\mathbf{T}=\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|}=\left\langle \frac{2}{\sqrt{6}},\;-\frac{1}{\sqrt{6}},\;\frac{1}{\sqrt{6}}\right\rangle.

Passo 8

Observação prática rápida (dica para prova): quando precisar da reta tangente, sempre
  1. encontre o parâmetro t_{0} correspondente ao ponto dado,
  2. calcule \mathbf{r}'(t_{0}) e confirme que não é o vetor nulo, e
  3. escreva a reta como \mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}).
    Se \mathbf{r}'(t_{0})=\mathbf{0}, aí a situação exige cuidados (usar derivadas de ordem superior), mas aqui não é o caso.

Resposta

x=2s,\;y=1-s,\;z=s,\;s\in\mathbb{R}.
\mathbf{T}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{6}},-\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)

Exercícios relacionados