Exercício 3.33. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva e o vetor unitário tangente
dado pelas equações paramétricas abaixo, no ponto dado:
no ponto $\quad(0,1,0);
Passo 1
O enunciado dá a curva por equações paramétricas e pede duas coisas no ponto dado:
- Curva:
. - Ponto pedido:
.
O que é pedido:
- Encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto
. - Encontrar o vetor unitário tangente
nesse mesmo ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As funções que descrevem a curva são
, , . - É necessário determinar o valor do parâmetro
que corresponde ao ponto antes de calcular a tangente.
Passo 2
Ideia e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Representamos a curva como função vetorial
- A derivada
é o vetor velocidade da curva; geometricamente é um vetor tangente à curva em cada ponto. Para obter a direção da reta tangente no parâmetro usamos . - O vetor unitário tangente é dado por
onde
é a norma Euclidiana do vetor
, isto é, se
então
Regra de derivação usada aqui (breve lembrete):
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia: derivada de é ). - Derivada de
é .
Passo 3
Determinar o valor de
que corresponde ao ponto
.
Resolver
dá
Verificar as outras coordenadas no mesmo
:
Como essas verificações coincidem com o ponto dado, o parâmetro buscado é
.
Passo 4
Calcular a derivada vetorial
componente a componente usando as regras de derivação citadas:
Passo 5
Avaliar
no ponto
:
Esse vetor
é a direção da reta tangente no ponto
.
Passo 6
Escrever as equações paramétricas da reta tangente.
- Usamos a forma vetorial da reta tangente:
, onde é um parâmetro novo (real). - O ponto
é . Então
As equações paramétricas desta reta são, portanto,
Passo 7
Calcular o vetor unitário tangente
no ponto.
- Primeiro a norma de
:
- Então o vetor unitário tangente é
Passo 8
Observação prática rápida (dica para prova): quando precisar da reta tangente, sempre
- encontre o parâmetro
correspondente ao ponto dado, - calcule
e confirme que não é o vetor nulo, e - escreva a reta como
.
Se, aí a situação exige cuidados (usar derivadas de ordem superior), mas aqui não é o caso.