Exercício 33. Prove que a altura do tetraedro A B C D relativa à base A B C é dada por
h=\frac{|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}]|}{\|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}\|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num tetraedro ABCD, a altura relativa à base ABC satisfaz
h \;=\;\frac{\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\bigr|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|}.
Aqui o conteúdo é geometria vetorial: vamos usar
  1. o produto vetorial para calcular áreas de triângulos;
  2. o produto misto (ou triplo escalar) para calcular volumes de paralelepípedos;
  3. a relação entre o volume do tetraedro, a área de sua base e a sua altura.

Passo 2

Lembrando que, dados três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} que partem de um mesmo ponto, o produto misto
[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] \;=\; (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}
é, em valor absoluto, o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}. No nosso caso, os vetores são
\mathbf{u}=\overrightarrow{AB},
\mathbf{v}=\overrightarrow{AC} e
\mathbf{w}=\overrightarrow{AD}.
Como o tetraedro ABCD ocupa exatamente um sexto desse paralelepípedo, seu volume V é
V \;=\; \frac{1}{6}\,\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\,\bigr|.

Passo 3

Por outro lado, a mesma altura h relativa à base triangular ABC aparece na fórmula clássica
V \;=\; \frac{1}{3}\,\bigl(\text{área de }ABC\bigr)\,h.á
Mas a área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, ou seja,
\text{área}(ABC) \;=\; \frac{1}{2}\,\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.á
Logo
V \;=\; \frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\Bigr)\,h \;=\; \frac{1}{6}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\,h.

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões para V:
\frac{1}{6}\,\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\,\bigr| \;=\; \frac{1}{6}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\,h.
Cancelando o fator 1/6 de ambos os lados e resolvendo para h, obtemos
h \;=\; \frac{\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\bigr|}{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|},
que era justamente a fórmula que se queria demonstrar.

Resposta

h =\frac{\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\bigr|}{\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|}.

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