O enunciado pede para mostrar que, num tetraedro ABCD, a altura relativa à base ABC satisfaz
h \;=\;\frac{\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\bigr|}{\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|}.
Aqui o conteúdo é geometria vetorial: vamos usar
o produto vetorial para calcular áreas de triângulos;
o produto misto (ou triplo escalar) para calcular volumes de paralelepípedos;
a relação entre o volume do tetraedro, a área de sua base e a sua altura.
Passo 2
Lembrando que, dados três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} que partem de um mesmo ponto, o produto misto
é, em valor absoluto, o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}. No nosso caso, os vetores são \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}, \mathbf{v}=\overrightarrow{AC} e \mathbf{w}=\overrightarrow{AD}.
Como o tetraedro ABCD ocupa exatamente um sexto desse paralelepípedo, seu volume V é
V \;=\; \frac{1}{6}\,\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}]\,\bigr|.
Passo 3
Por outro lado, a mesma altura h relativa à base triangular ABC aparece na fórmula clássica
V \;=\; \frac{1}{3}\,\bigl(\text{área de }ABC\bigr)\,h.á
Mas a área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, ou seja,
V \;=\; \frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\Bigr)\,h \;=\; \frac{1}{6}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|\,h.