Exercício 36. Considere um triângulo A B C. Seja P o ponto médio de A B, Q o ponto médio de B C e R o ponto médio de C A. Mostre que A P Q R é um paralelogramo.
Passo 1
Neste exercício consideramos o triângulo ABC e seus pontos médios P\in AB, Q\in BC e R\in CA. O objetivo é mostrar que o quadrilátero APQR é um paralelogramo. Vamos usar geometria vetorial: atribuímos vetores posição \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} aos vértices A, B, C e expressar as posições de P, Q, R e os vetores dos lados. Em seguida, verificamos que pares de lados opostos são vetores iguais ou opostos, o que caracteriza um paralelogramo.
Passo 2
Sejam as posições dos pontos médios dadas por
\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2},
\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2},
\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}.
Essas fórmulas vêm da definição de ponto médio em termos vetoriais.