Exercício 36. Considere um triângulo A B C. Seja P o ponto médio de A B, Q o ponto médio de B C e R o ponto médio de C A. Mostre que A P Q R é um paralelogramo.

Passo 1

Neste exercício consideramos o triângulo ABC e seus pontos médios P\in AB, Q\in BC e R\in CA. O objetivo é mostrar que o quadrilátero APQR é um paralelogramo. Vamos usar geometria vetorial: atribuímos vetores posição \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} aos vértices A, B, C e expressar as posições de P, Q, R e os vetores dos lados. Em seguida, verificamos que pares de lados opostos são vetores iguais ou opostos, o que caracteriza um paralelogramo.

Passo 2

Sejam as posições dos pontos médios dadas por
\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2},
\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2},
\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}.
Essas fórmulas vêm da definição de ponto médio em termos vetoriais.

Passo 3

Calculamos as diagonais opostas:
\overrightarrow{AP} = \vec{p}-\vec{a} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b}-\vec{a}}{2},
\overrightarrow{RQ} = \vec{q}-\vec{r} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} = \frac{\vec{b}-\vec{a}}{2}.
Logo, \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{RQ}, ou seja, AP\parallel RQ e têm o mesmo comprimento.

Passo 4

Agora analisamos o outro par de lados:
\overrightarrow{PQ} = \vec{q}-\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c}-\vec{a}}{2},
\overrightarrow{RA} = \vec{a}-\vec{r} = \vec{a} - \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} = \frac{\vec{a}-\vec{c}}{2} = -\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}.
Portanto, \overrightarrow{PQ} = -\,\overrightarrow{RA}, implicando PQ\parallel RA e congruência dos segmentos.

Resposta

Como ambos os pares de lados opostos são paralelos e iguais em magnitude, o quadrilátero APQR é um paralelogramo.

Exercícios relacionados