Exercício 34. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} \frac{\cos x-\cos a}{x-a} (Dica: use a fórmula \cos a-\cos b=-2 \operatorname{sen} \frac{a+b}{2} \operatorname{sen} \frac{a-b}{2} e a continuidade do sen x e o 1^{\circ} \mathrm{LF} )

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to a}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}.
Este é o cálculo da derivada de \cos x em x=a. Para resolver vamos usar a identidade trigonométrica
\cos u-\cos v=-2\sin\!\Bigl(\frac{u+v}{2}\Bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{u-v}{2}\Bigr),
a continuidade de \sin x e o limite notável
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Aplicando a identidade com u=x e v=a, temos
\frac{\cos x-\cos a}{x-a} =\frac{-2\,\sin\!\bigl(\frac{x+a}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{x-a}.

Passo 3

Reescrevendo
\frac{\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{x-a} =\frac{1}{2}\,\frac{\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{\frac{x-a}{2}},
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\frac{\cos x-\cos a}{x-a} =-2\,\sin\!\Bigl(\frac{x+a}{2}\Bigr)\,\frac{1}{2}\, \frac{\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{\frac{x-a}{2}} =-\sin\!\Bigl(\frac{x+a}{2}\Bigr)\,\frac{\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{\frac{x-a}{2}}.

Passo 4

Ao fazer x\to a, vale
\sin\!\Bigl(\frac{x+a}{2}\Bigr)\to\sin\!\Bigl(\frac{a+a}{2}\Bigr)=\sin a \quad\text{e}\quad \frac{\sin\!\bigl(\frac{x-a}{2}\bigr)}{\frac{x-a}{2}}\to1.
Portanto o limite é
-\sin a\cdot1 = -\sin a.

Resposta

-\sin a

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