Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
f(x)=\operatorname{sen}(\sqrt{x})+\sqrt{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)\;+\;\sqrt{\sin(x)}
Usaremos a regra da cadeia para cada parcela: primeiro para \sin(\sqrt{x}) e depois para \sqrt{\sin(x)}.

Passo 2

Para derivar \sin(\sqrt{x}) note que é composta por
u(x)=\sqrt{x} \quad\text{e}\quad \sin(u)\,.
Primeiro calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Depois, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\cdot\,u'(x) =\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Para derivar \sqrt{\sin(x)} vemos
v(x)=\sin(x) \quad\text{e}\quad \sqrt{v}.
Calculamos
v'(x)=\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sqrt{\sin(x)} =\frac{1}{2\sqrt{\sin(x)}}\;\cdot\;v'(x) =\frac{1}{2\sqrt{\sin(x)}}\;\cdot\;\cos(x) =\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, chegamos a
f'(x) =\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \;+\;\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} +\frac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}.

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